Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r1=5+7 cos theta e r2=-3 cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica por dentro de r₁(θ)=5+7 cosθ e por fora de r₂(θ)=−3 cosθ, usando coord. polares. Vamos usar a fórmula da área entre duas curvas polares: A=tfrac12integral (rexterna^2−rinterna^2)dθ.

Passo 2

Para saber onde trocar quem é externa e interna, achamos as interseções resolvendo 5+7 cosθ=−3 cosθ, isto é 5+10 cosθ=0 ⇒ cosθ=−1/2 ⇒ θ=2π/3 e θ=4π/3.
Entre θ=2π/3 e 4π/3 tem r₂>r₁, fora desse intervalo r₁>r₂. Logo a região pedida corresponde a θ∈[0,2π/3]∪[4π/3,2π].

Passo 3

Como o integrando é periódico e simétrico, podemos dobrar a integral de 0 a 2π/3. A área fica então
A=tfrac12l(2integral0^2π/3l(r₁^2−r₂^2r)dθr)=integral0^2π/3l[(5+7cosθ)^2−(−3cosθ)^2r]dθ

Passo 4

Expandindo:
(5+7cosθ)^2−9cos^2θ=25+70cosθ+49cos^2θ−9cos^2θ=25+70cosθ+40cos^2θ Então
A=integral0^2π/3(25+70cosθ+40cos^2θ)dθ

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
∫25dθ=25θ,
∫70 cosθdθ=70 sinθ,
∫40 cos²θdθ=40\bigl(θ/2+\sin2θ/4\bigr)=20θ+10\sin2θ.
A soma dá 25θ+20θ+70sinθ+10sin2θ=45θ+70sinθ+10sin2θ Avaliando de 0 a 2π/3 resulta 30π+30√3.

Passo 6

Portanto a área procurada é dada por 30π+30√3.

Resposta

30π + 30√3

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