Determine a área interior a
e exterior a
.
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica por dentro de r₁(θ)=5+7 cosθ e por fora de r₂(θ)=−3 cosθ, usando coord. polares. Vamos usar a fórmula da área entre duas curvas polares:
.
Passo 2
Para saber onde trocar quem é externa e interna, achamos as interseções resolvendo 5+7 cosθ=−3 cosθ, isto é 5+10 cosθ=0 ⇒ cosθ=−1/2 ⇒ θ=2π/3 e θ=4π/3.
Entre θ=2π/3 e 4π/3 tem r₂>r₁, fora desse intervalo r₁>r₂. Logo a região pedida corresponde a θ∈[0,2π/3]∪[4π/3,2π].
Entre θ=2π/3 e 4π/3 tem r₂>r₁, fora desse intervalo r₁>r₂. Logo a região pedida corresponde a θ∈[0,2π/3]∪[4π/3,2π].
Passo 3
Como o integrando é periódico e simétrico, podemos dobrar a integral de 0 a 2π/3. A área fica então
Passo 4
Expandindo:
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
∫25dθ=25θ,
∫70 cosθdθ=70 sinθ,
∫40 cos²θdθ=40\bigl(θ/2+\sin2θ/4\bigr)=20θ+10\sin2θ.
∫25dθ=25θ,
∫70 cosθdθ=70 sinθ,
∫40 cos²θdθ=40\bigl(θ/2+\sin2θ/4\bigr)=20θ+10\sin2θ.
A soma dá
Avaliando de 0 a 2π/3 resulta 30π+30√3.
Passo 6
Portanto a área procurada é dada por 30π+30√3.
Resposta
30π + 30√3