Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r1=2 cos 4 theta e r2=1

Passo 1

O exercício pede a área da região que fica por dentro da curva polar r1=2cos4theta e por fora do círculo r2=1. O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula A=12integral (rexterna^2 - rinterna^2),dtheta. Precisaremos achar os pontos de interseção entre r1 e r2 e aproveitar a simetria da rosa de 8 pétalas.

Passo 2

Primeiro, resolvemos r1=r2, ou seja:
2cos4theta = 1 implies cos4theta = tfrac12

Passo 3

Dessa equação temos
4theta = pmtfracpi3 + 2kpi Longrightarrow theta = pmtfracpi12 + ktfracpi2, o que nos dá 8 pontos de interseção ao longo de [0,2pi), distribuídos a cada tfracpi2.

Passo 4

A rosa de r1=2cos4theta tem 8 pétalas, todas simétricas com período tfracpi2. Basta calcular a área num trecho entre dois pontos de interseção contíguos e multiplicar por 8.
Escolhemos o trecho onde a pétala central está em torno de theta=0, ou seja, de theta=-tfracpi12 até theta=tfracpi12. Nesse intervalo r1>= r2, logo a área de uma pétala acima do círculo é
Apedacinho=12integral-pi/12^pi/12l(r1^2 - r2^2r),dtheta = 12integral-pi/12^pi/12l(4cos^2(4theta)-1r),dtheta

Passo 5

Como há 8 pétalas idênticas, a área total é
A = 8,Apedacinho = 4integral-pi/12^pi/12l(4cos^2(4theta)-1r),dtheta

Passo 6

Para integrar, usamos cos^2(4theta)=12(1+cos8theta). Assim:
integral-pi/12^pi/124cos^2(4theta),dtheta = 4integral-pi/12^pi/121+cos8theta2,dtheta = 2l[theta + sin8theta8r]-pi/12^pi/12

Passo 7

Calculando cada parte:
theta:;theta|-pi/12^pi/12=pi6, sin8theta:;sinl(tfrac2pi3r)-sinl(-tfrac2pi3r)=raiz3

Passo 8

Logo a integral de 4cos^2(4theta)
2l(tfracpi6+tfracraiz38r)=pi3+raiz34

Passo 9

A outra parte é
integral-pi/12^pi/121,dtheta=pi6

Passo 10

Então
A=4l(l(tfracpi3+tfracraiz34r)-tfracpi6r)=4l(tfracpi6+tfracraiz34r)=2pi3+raiz3

Resposta

A = 2pi3 + raiz3.

Exercícios relacionados