Determine a área interior a r2 e exterior a r1.
r1=5+2 sen theta e r2=6

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica por dentro da curva r₂ = 6 e por fora da curva r₁ = 5 + 2
sen
θ, usando coordenadas polares. Vamos usar a fórmula de área em polares e a teoria de interseção de curvas polares.

Passo 2

Para encontrar de que ângulos consideramos a região, igualamos as duas curvas:
5 + 2sintheta = 6
Logo
2sintheta = 1 Rightarrow sintheta = tfrac12
Daí os ângulos de interseção são
theta = tfracpi6, tfrac5pi6

Passo 3

Precisamos da parte onde r₁ ≤ r₂, pois queremos pontos entre r₁ e r₂. Como r₁ = 5 + 2
sen
θ ≤ 6 significa sen
θ ≤ 1/2, os ângulos são
0 <= theta <= tfracpi6e tfrac5pi6 <= theta <= 2pi

Passo 4

A área de uma região em coordenadas polares entre r = a(θ) e r = b(θ) é
A = tfrac12 integral (b(theta)^2 - a(theta)^2),dtheta
Aqui b(θ) = 6 e a(θ) = 5 + 2
sen
θ, então
A = 12l[integral0^pi/6 l(6^2 - (5 + 2sintheta)^2r),dtheta + integral5pi/6^2pi l(6^2 - (5 + 2sintheta)^2r),dthetar]

Passo 5

Para simplificar o cálculo, note que a integral de 0 a 2π de (6² − (5+2
senθ)²) dθ é mais fácil e depois subtraímos o trecho onde r₁ > r₂, isto é de π/6 a 5π/6. Isso dá
A = tfrac12l[integral0^2pi (36 - (5+2sintheta)^2),dtheta - integralpi/6^5pi/6 (36 - (5+2sintheta)^2),dthetar]

Passo 6

Expandindo o integrando:
$$36 - (5 + 2\sin\theta)^2 = 36 - (25 + 20\sin\theta + 4\sin^2\theta) = 11 - 20\sin\theta - 4\sin^2\theta.
36 - (5 + 2sintheta)^2 = 36 - (25 + 20sintheta + 4sin^2theta) = 11 - 20sintheta - 4sin^2theta 11 - 20\sin\theta - 4\sin^2\theta = 9 - 20\sin\theta + 2\cos2\theta.
$$

Passo 7

A integral total de 0 a 2π desse termo é
$$\int_0^{2\pi} (9 - 20\sin\theta + 2\cos2\theta),d\theta = 9\cdot2\pi + 0 + 0 = 18\pi.
$$

Passo 8

Agora calculamos
$$J = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (9 - 20\sin\theta + 2\cos2\theta),d\theta.
$$

Passo 9

Separando:
integral 9,dtheta = 9De
integral -20sintheta,dtheta = 20costheta|pi/6^5pi/6=20l(cos(5pi/6)-cos(pi/6)r)=-20raiz3,
$$\int 2\cos2\theta,d\theta = \sin2\theta\Big|_{\pi/6}^{5\pi/6}=-\sqrt3.
$$

Passo 10

Somando dá
$$J = 6\pi - 21\sqrt3.
$$

Passo 11

Finalmente
$$A = \tfrac12\bigl(18\pi - (6\pi -21\sqrt3)\bigr) = \tfrac12(12\pi +21\sqrt3) = 6\pi + \tfrac{21\sqrt3}{2}.
$$

Resposta

A = 6\pi + \tfrac{21\sqrt3}{2}

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