Determine a área interior a
e exterior a
.
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica por dentro da curva r₂ = 6 e por fora da curva r₁ = 5 + 2
sen
θ, usando coordenadas polares. Vamos usar a fórmula de área em polares e a teoria de interseção de curvas polares.
sen
θ, usando coordenadas polares. Vamos usar a fórmula de área em polares e a teoria de interseção de curvas polares.
Passo 2
Para encontrar de que ângulos consideramos a região, igualamos as duas curvas:
Logo
Daí os ângulos de interseção são
Passo 3
Precisamos da parte onde r₁ ≤ r₂, pois queremos pontos entre r₁ e r₂. Como r₁ = 5 + 2
sen
θ ≤ 6 significa sen
θ ≤ 1/2, os ângulos são
sen
θ ≤ 6 significa sen
θ ≤ 1/2, os ângulos são
Passo 4
A área de uma região em coordenadas polares entre r = a(θ) e r = b(θ) é
Aqui b(θ) = 6 e a(θ) = 5 + 2
sen
θ, então
Passo 5
Para simplificar o cálculo, note que a integral de 0 a 2π de (6² − (5+2
senθ)²) dθ é mais fácil e depois subtraímos o trecho onde r₁ > r₂, isto é de π/6 a 5π/6. Isso dá
senθ)²) dθ é mais fácil e depois subtraímos o trecho onde r₁ > r₂, isto é de π/6 a 5π/6. Isso dá
Passo 6
Expandindo o integrando:
$$36 - (5 + 2\sin\theta)^2 = 36 - (25 + 20\sin\theta + 4\sin^2\theta) = 11 - 20\sin\theta - 4\sin^2\theta.
$$
Passo 7
A integral total de 0 a 2π desse termo é
$$\int_0^{2\pi} (9 - 20\sin\theta + 2\cos2\theta),d\theta = 9\cdot2\pi + 0 + 0 = 18\pi.
$$
Passo 8
Agora calculamos
$$J = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (9 - 20\sin\theta + 2\cos2\theta),d\theta.
$$
Passo 9
Separando:
$$\int 2\cos2\theta,d\theta = \sin2\theta\Big|_{\pi/6}^{5\pi/6}=-\sqrt3.
$$
Passo 10
Somando dá
$$J = 6\pi - 21\sqrt3.
$$
Passo 11
Finalmente
$$A = \tfrac12\bigl(18\pi - (6\pi -21\sqrt3)\bigr) = \tfrac12(12\pi +21\sqrt3) = 6\pi + \tfrac{21\sqrt3}{2}.
$$
Resposta
A = 6\pi + \tfrac{21\sqrt3}{2}