Determine a área interior a r2 e exterior a r1.
r1=4+3 cos theta e r r2=11 cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica por dentro de r2 e por fora de r1, onde estamos trabalhando com coordenadas polares. O conteúdo principal aqui é o cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula A=tfrac12integral (rexterno^2 - rinterno^2),dtheta.

Passo 2

Precisamos encontrar os valores de theta em que as duas curvas se cruzam, pois só nessa faixa faz sentido ter r2>= r1. Igualando as funções:
4+3costheta = 11costheta 4 = 8costheta costheta = tfrac12
Portanto, as interseções ocorrem em theta=pmtfracpi3.

Passo 3

Montamos a integral de área considerando r2=11costheta como curva externa e r1=4+3costheta como interna, para theta de -tfracpi3 a tfracpi3:
A = 12integral-pi/3^pi/3l((11costheta)^2 - (4+3costheta)^2r),dtheta

Passo 4

Expandindo os quadrados:
(11costheta)^2 = 121cos^2theta, (4+3costheta)^2 = 16 + 24costheta +9cos^2theta
Logo o integrando é
121cos^2theta - (16+24costheta+9cos^2theta)=112cos^2theta -24costheta -16

Passo 5

Para integrar, use cos^2theta=tfrac1+cos2theta2. Assim o integrando vira
112cdot1+cos2theta2 -24costheta -16 =40 +56cos2theta -24costheta

Passo 6

Agora calculamos a integral:
A = 12integral-pi/3^pi/3(40+56cos2theta -24costheta),dtheta
As primitivas são
integral40,dtheta=40theta, integral56cos2theta,dtheta=28sin2theta, integral(-24costheta),dtheta=-24sintheta

Passo 7

Avaliando de -tfracpi3 a tfracpi3 e multiplicando por tfrac12 chega-se a
A=40pi3+2raiz3

Resposta

40pi3 + 2raiz3

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