O enunciado pede a área da região que está dentro do círculo dado por e fora do cardioide dado por . O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos precisar:
da condição de interseção para achar os limites de ;
da fórmula de área em coordenadas polares .
Passo 2
Igualamos e para achar onde as curvas se cruzam:
Dividindo por 4 e rearranjando:
Reconhecendo que , temos:
Isso dá
$$
\Rightarrow\theta=0\quadou\quad\theta=-\tfrac\pi2
$$.
Passo 3
Agora precisamos saber em que intervalo . Testando um valor, por exemplo , vemos que ali, então o intervalo de interesse é de a .
Passo 4
A área pedida é dada por:
Passo 5
Vamos expandir o integrando. Primeiro:
Passo 6
Logo a integral fica:
Passo 7
Calculando a primitiva:
Passo 8
Multiplicando por 8 e aplicando os limites:
Passo 9
Em theta=0 isso vale 16, e em theta=-pi2 vale 4pi. Subtraindo,