Determine a área interior a r2 e exterior a r1.
r1=4+4 sen theta e r2=4 cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro do círculo dado por r2=4costheta e fora do cardioide dado por r1=4+4sintheta. O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos precisar:
  • da condição de interseção r1=r2 para achar os limites de theta;
  • da fórmula de área em coordenadas polares A=tfrac12integral(r2^2-r1^2),dtheta.

Passo 2

Igualamos r1 e r2 para achar onde as curvas se cruzam:
4+4sintheta=4costheta
Dividindo por 4 e rearranjando:
costheta-sintheta=1
Reconhecendo que costheta-sintheta=raiz2cos(theta+tfracpi4), temos:
raiz2cosl(theta+tfracpi4r)=1 Longrightarrow cosl(theta+tfracpi4r)=tfrac1raiz2
Isso dá
theta+tfracpi4=pmtfracpi4+2kpi $$
\Rightarrow\theta=0\quadou\quad\theta=-\tfrac\pi2
$$.

Passo 3

Agora precisamos saber em que intervalo r2>= r1. Testando um valor, por exemplo theta=-tfracpi4, vemos que r2>r1 ali, então o intervalo de interesse é de -tfracpi2 a 0.

Passo 4

A área pedida é dada por:
A=tfrac12integral-pi/2^0l[r2^2-r1^2r] ,dtheta =tfrac12integral-pi/2^0l[(4costheta)^2-(4+4sintheta)^2r]dtheta

Passo 5

Vamos expandir o integrando. Primeiro:
(4costheta)^2-(4+4sintheta)^2=16cos^2theta-16(1+2sintheta+sin^2theta) =16l(cos2theta-2sintheta-1r)

Passo 6

Logo a integral fica:
A=8integral-pi/2^0l(cos2theta-2sintheta-1r)dtheta

Passo 7

Calculando a primitiva:
integral(cos2theta-2sintheta-1)dtheta=tfrac12sin2theta+2costheta-theta

Passo 8

Multiplicando por 8 e aplicando os limites:
A=8l[tfrac12sin2theta+2costheta-thetar]-pi/2^0 =l(4sin2theta+16costheta-8thetar)|-pi/2^0

Passo 9

Em theta=0 isso vale 16, e em theta=-pi2 vale 4pi. Subtraindo,
A=16-4pi

Resposta

16-4pi

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