Determine a área interior a r2 e r1.
r1=5+2 sen theta e r2=6

Passo 1

Temos duas curvas polares: r1=5+2sintheta (uma “cardioide deslocada”) e r2=6 (um círculo de raio 6). Queremos a área da região que fica simultaneamente dentro de ambas. Em coordenadas polares a área é dada por
A=tfrac12integral r^2,dtheta

Passo 2

Para achar onde as duas curvas se cruzam, igualamos
5+2sintheta=6
que leva a
sintheta=tfrac12 implies theta=tfracpi6,,tfrac5pi6

Passo 3

Precisamos ver qual curva limita a região comum em cada faixa de theta:
  • Para thetain[pi/6,5pi/6], r1=5+2sintheta>=6, logo o limite é r2=6.
  • Para o restante de [0,2pi], r1<=6, então o limite é r1=5+2sintheta.

Passo 4

Montamos a integral da área como soma das duas faixas:
A=tfrac12l(integralpi/6^5pi/66^2,dtheta ;+ integral[0,pi/6]cup[5pi/6,2pi](5+2sintheta)^2,dthetar)

Passo 5

Calculamos cada parte separadamente:
  1. Para r2:
integralpi/6^5pi/636,dtheta =36l(tfrac5pi6-tfracpi6r) =24pi
  1. Para r1: expandimos
(5+2sintheta)^2=25+20sintheta+4sin^2theta,
com sin^2theta=(1-cos2theta)/2. Então
integral0^2pi(5+2sintheta)^2,dtheta=25cdot2pi+0+4cdotpi=54pi,
integralpi/6^5pi/6(5+2sintheta)^2,dtheta =18pi+21raiz3

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da área:
A=tfrac12l[24pi+l(54pi-(18pi+21raiz3)r)r] =30pi-21raiz32

Resposta

30pi-tfrac21raiz32

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