Determine a área interior a
e
.
e
Passo 1
O exercício pede a área da região que fica dentro de ambas as curvas em coordenadas polares: a circunferência fixa
e a limacon
. Vamos usar a fórmula de área em polares e encontrar os ângulos de interseção.
Passo 2
Para achar onde as curvas se encontram, igualamos
:
Isso dá
, ou seja
. Logo os ângulos de interseção são
Passo 3
Precisamos descobrir qual curva define o limite interno em cada trecho de
. Observando o sinal de
, verificamos que:
- Para
e , temos , então o círculo é o limite interno. - Para
, temos , então a limacon é o limite interno.
Passo 4
Na parte em que o círculo é interno (dois trechos), a área é
Calculando:
Passo 5
Na parte em que a limacon é interna, a área é
Expandindo:
Como
, o integrando vira
Assim,
Passo 6
Somando as duas contribuições, a área comum é