Determine a área interior a r2 e r1.
r1=4+4 sen theta e r2=2

Passo 1

O exercício pede a área da região que fica dentro de ambas as curvas em coordenadas polares: a circunferência fixa r2=2 e a limacon r1=4+4sintheta. Vamos usar a fórmula de área em polares e encontrar os ângulos de interseção.

Passo 2

Para achar onde as curvas se encontram, igualamos r1=r2:
4+4sintheta=2
Isso dá 4sintheta=-2, ou seja sintheta=-tfrac12. Logo os ângulos de interseção são
theta=tfrac7pi6etheta=tfrac11pi6

Passo 3

Precisamos descobrir qual curva define o limite interno em cada trecho de theta. Observando o sinal de sintheta+1/2, verificamos que:
  • Para 0<=theta<7pi/6 e 11pi/6, temos r1>2, então o círculo r2 é o limite interno.
  • Para 7pi/6<=theta<=11pi/6, temos r1<=2, então a limacon r1 é o limite interno.

Passo 4

Na parte em que o círculo é interno (dois trechos), a área é
Acirc=12integral0^7pi/6(2)^2,dtheta+12integral11pi/6^2pi(2)^2,dtheta
Calculando:
Acirc=2l(tfrac7pi6+(2pi-tfrac11pi6)r)=2l(tfrac7pi6+tfracpi6r)=2cdottfrac8pi6=tfrac16pi6=tfrac8pi3

Passo 5

Na parte em que a limacon é interna, a área é
Alim=12integral7pi/6^11pi/6(4+4sintheta)^2,dtheta
Expandindo:
(4+4sintheta)^2=16(1+sintheta)^2=16l(1+2sintheta+sin^2thetar)
Como sin^2theta=tfrac1-cos2theta2, o integrando vira
16l(1+2sintheta+tfrac1-cos2theta2r)=16l(tfrac32+2sintheta-tfrac12cos2thetar)=12+16sintheta-4cos2theta
Assim,
Alim=12integral7pi/6^11pi/6(12+16sintheta-4cos2theta),dtheta =l[6theta-8costheta-2sin2thetar]7pi/6^11pi/6=8pi-14raiz3

Passo 6

Somando as duas contribuições, a área comum é
A=Acirc+Alim=tfrac8pi3+(8pi-14raiz3)=tfrac32pi3-14raiz3

Resposta

A=32pi3-14raiz3

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