Determine a área lateral de um cilindro reto de 120 \pi \mathrm{~cm}^{2} de área total, sendo o raio da base \frac{3}{2} da medida da altura do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A área total do cilindro é \;120\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • O raio da base é \dfrac{3}{2} da medida da altura do cilindro; escrevendo em símbolos: \;r=\dfrac{3}{2}h.
    O que o problema pede:
  • Determinar a área lateral do cilindro.

Passo 2

Recordando as fórmulas relevantes (com explicação passo a passo):
  • Para um cilindro de raio r e altura h, a área da base (uma circunferência) é \pi r^2. Como há duas bases, a soma das áreas das bases é 2\pi r^2.
  • A área lateral é igual à circunferência da base vezes a altura, ou seja \;A_{\text{lat}}=2\pi r h. Aqui 2\pi r é o comprimento da circunferência da base e multiplicar por h “desenrola” a superfície lateral.
  • A área total é a soma das áreas das duas bases com a área lateral:
A_{\text{total}}=2\pi r^2 + 2\pi r h.
No que segue, r é o raio em centímetros e h é a altura em centímetros.

Passo 3

Usar a informação do enunciado na fórmula da área total:
2\pi r^2 + 2\pi r h = 120\pi.
Dividindo ambos os lados por 2\pi para simplificar:
r^2 + r h = 60.
Agora substituir a relação dada \;r=\dfrac{3}{2}h na equação acima.

Passo 4

Calcular r^2 e r h em função de h:
r^2=\left(\dfrac{3}{2}h\right)^2=\dfrac{9}{4}h^2, \qquad r h=\left(\dfrac{3}{2}h\right)h=\dfrac{3}{2}h^2.
Somando:
r^2 + r h = \dfrac{9}{4}h^2 + \dfrac{3}{2}h^2.
Colocar com denominador comum 4:
\dfrac{9}{4}h^2 + \dfrac{6}{4}h^2 = \dfrac{15}{4}h^2.
Essa soma deve ser igual a 60, logo:
\dfrac{15}{4}h^2 = 60.
Isolando h^2:
h^2 = 60\cdot \dfrac{4}{15}.
Fazer as contas sem calculadora: 60/15=4, então h^2=4\cdot4=16. Portanto
h^2=16 \quad\Rightarrow\quad h=4\\ \mathrm{cm}
(escolhemos a raiz positiva porque altura é positiva).

Passo 5

Determinar o raio usando r=\dfrac{3}{2}h:
r=\dfrac{3}{2}\cdot 4 = 6\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular a área lateral com \;A_{\text{lat}}=2\pi r h:
A_{\text{lat}}=2\pi \cdot 6 \cdot 4 = 48\pi\\ \mathrm{cm}^2.
Verificação rápida (checar consistência): áreas das bases =2\pi r^2=2\pi\cdot 36=72\pi; somando com a lateral 72\pi+48\pi=120\pi, que confere com a área total dada.

Passo 7

Dica rápida para prova (sem complicar): escreva sempre as fórmulas claras, substitua relações entre as variáveis (como r em função de h) antes de resolver, e simplifique dividindo por fatores comuns (aqui dividir por 2\pi deixou a álgebra bem simples). Vai dar certo — respira fundo e aplica esses passos.

Resposta

48\pi\\ \mathrm{cm}^2

Exercícios relacionados