Um recipiente possui formato de cilindro com área igual a 720 \pi \mathrm{~cm}^{2}. Se o raio desse cilindro é de 12 cm , então qual o valor da sua altura?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara:
  • O recipiente tem formato de cilindro.
  • A área do cilindro é \,720\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • O raio do cilindro é \\ r=12\\ \mathrm{cm}.
  • Pergunta: qual é a altura h do cilindro?

Passo 2

Antes de calcular, é importante decidir o que o enunciado quer dizer por “área”. No contexto de um cilindro, “área” pode significar duas coisas comuns:
  • área lateral (superfície lateral): \,A_{\text{lateral}}=2\pi r h;
  • área total (superfície total, com as duas bases): \,A_{\text{total}}=2\pi r(r+h).
Como o enunciado só diz “área” sem especificar, vou escolher a interpretação mais simples e direta para um recipiente (e que costuma ser a primeira fórmula ensinada): assumir que se trata da área lateral do cilindro. Ou seja, vou usar \,A= A_{\text{lateral}}=2\pi r h. Se o professor quisesse área total, o procedimento seria quase idêntico mas usando a fórmula da área total (mostrarei como seria se você quiser depois).

Passo 3

Apresentando a fórmula e explicando-a com calma:
  • A superfície lateral de um cilindro pode ser “desenrolada” e vira um retângulo cuja altura é h e cuja base é a circunferência da base do cilindro. A circunferência tem comprimento \,2\pi r.
  • Logo a área desse retângulo (área lateral do cilindro) é produto da base pela altura:
A_{\text{lateral}} = (\text{circunferência})\times(\text{altura}) = 2\pi r \, h.ê
Aqui:
  • \,A_{\text{lateral}} está em \mathrm{cm}^2,
  • \,r está em \mathrm{cm},
  • \,h está em \mathrm{cm}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula com os valores dados. Substituo \,A_{\text{lateral}}=720\pi e \,r=12 em
A_{\text{lateral}} = 2\pi r h.
Fica:
720\pi = 2\pi \cdot 12 \cdot h.
Simplifico passo a passo:
  1. Multiplico 2 por 12:
2\cdot 12 = 24,
então
720\pi = 24\pi \, h.
  1. Cancelo \pi em ambos os lados (porque \pi\neq0):
720 = 24\, h.
  1. Isolo h dividindo ambos os lados por 24:
h = \frac{720}{24}.
  1. Faço a divisão:
\frac{720}{24} = 30,
pois 24\cdot 30 = 720.
Portanto h=30\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Resumo rápido e incentivo: chegamos a h=30\\ \mathrm{cm} usando a interpretação de área lateral. Bons sinais: todas as contas são inteiras, então é fácil de conferir na prova. Se na sua prova o enunciado pedir “área total”, me diz que eu mostro a conta rápida para esse caso também — fica tranquilo, é quase a mesma ideia!

Resposta

30\\ \mathrm{cm}

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