Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
A decomposição canônica em fatores primos de 5040 e 528 são, respectivamente,
e
. E o seu
e
são, respectivamente, 48 e 55440.
A decomposição canônica em fatores primos de 5040 e 528 são, respectivamente,
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações encadeadas sobre os números
e
:
- Afirmação A: as decomposições canônicas em fatores primos de
e são, respectivamente, e . - Afirmação B: o
e o são, respectivamente, e .
O que se pede: indicar Verdadeiro (
) ou Falso (
) para cada item (presumo que sejam as duas afirmações acima) e justificar.
Passo 2
O que é decomposição canônica em fatores primos e como fazê-la (explicação didática rápida):
- A decomposição canônica de um inteiro positivo é escrevê-lo como produto de potências de números primos distintos:
, onde cada é primo e são expoentes inteiros positivos. - Método prático: dividir repetidamente por primos começando por
, contando quantas vezes cada primo divide o número (esse número de divisões é o expoente correspondente), até reduzir o número a .
Agora aplico isso a
passo a passo:
Fizemos quatro divisões por
, então o fator
aparece com expoente
: isto é
.
Prosseguindo com :
Prosseguindo com
Fizemos duas divisões por
, logo
.
Restou , que se decompõe em
.
Portanto a decomposição correta é
Restou
Portanto a decomposição correta é
Comparando com a afirmação A, o fator indicado para
na afirmação era
, mas o correto é
. Portanto a parte referente a
na afirmação A está errada.
Passo 3
Decompõe-se
do mesmo modo (passo a passo):
Foram quatro divisões por
, logo
. Restou
, e
Portanto
Isso coincide exatamente com o que a afirmação A diz sobre
. Conclusão parcial: a afirmação A contém uma parte correta (para
) e uma parte incorreta (para
). Assim a afirmação A, tomada como um todo, é Falsa.
Passo 4
Como calcular
e
a partir das decomposições canônicas (explicação didática):
- Seja
e , onde para primos que não aparecem em um dos números o expoente correspondente é . - O
tem expoentes para cada primo . - O
tem expoentes para cada primo .
Racionalização rápida: ocontém apenas os fatores primos comuns com o menor expoente comum; o precisa conter todos os fatores necessários para reconstruir ambos os números, portanto toma o maior expoente de cada primo.
Passo 5
Aplicando isso a
e
. Primeiro escrevemos as decomposições corretas (usadas nos cálculos):
Para o
tomamos os mínimos dos expoentes:
e para
aparecem zeros em um dos números, então não contribuem para o
.
Logo
Logo
Isto mostra que o valor
dado na afirmação B para o
está correto.
Passo 6
Para o
tomamos os máximos dos expoentes:
Portanto
Calculemos esse produto de forma manual:
Logo
, que coincide com o número dado na afirmação B. Assim a afirmação B (sobre
e
) é Verdadeira.
Passo 7
Resumo final e interpretação: a decomposição de
está escrita incorretamente na afirmação A (faltou uma potência de
), a decomposição de
está correta; os valores de
e
apresentados na afirmação B estão corretos.
Resposta
F
V
V