Indique verdadeiro (V) ou falso (F) em cada item, justificando sua resposta.
A decomposição canônica em fatores primos de 5040 e 528 são, respectivamente, 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 e 2^{4} \cdot 3 \cdot 11. E o seu mdc(5040,528) e mmc(5040,528) são, respectivamente, 48 e 55440.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações encadeadas sobre os números 5040 e 528:
  • Afirmação A: as decomposições canônicas em fatores primos de 5040 e 528 são, respectivamente, 2^{3}\cdot3^{2}\cdot5\cdot7 e 2^{4}\cdot3\cdot11.
  • Afirmação B: o mdc(5040,528) e o mmc(5040,528) são, respectivamente, 48 e 55440.
O que se pede: indicar Verdadeiro ( V) ou Falso ( F) para cada item (presumo que sejam as duas afirmações acima) e justificar.

Passo 2

O que é decomposição canônica em fatores primos e como fazê-la (explicação didática rápida):
  • A decomposição canônica de um inteiro positivo é escrevê-lo como produto de potências de números primos distintos: \prod p_i^{a_i}, onde cada p_i é primo e a_i são expoentes inteiros positivos.
  • Método prático: dividir repetidamente por primos começando por 2, contando quantas vezes cada primo divide o número (esse número de divisões é o expoente correspondente), até reduzir o número a 1.
Agora aplico isso a 5040 passo a passo:
5040\div2=2520
2520\div2=1260
1260\div2=630
630\div2=315
Fizemos quatro divisões por 2, então o fator 2 aparece com expoente 4: isto é 2^{4}.
Prosseguindo com 315:
315\div3=105
105\div3=35
Fizemos duas divisões por 3, logo 3^{2}.
Restou 35, que se decompõe em 5\cdot7.
Portanto a decomposição correta é
5040 = 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7.
Comparando com a afirmação A, o fator indicado para 5040 na afirmação era 2^{3}, mas o correto é 2^{4}. Portanto a parte referente a 5040 na afirmação A está errada.

Passo 3

Decompõe-se 528 do mesmo modo (passo a passo):
528\div2=264
264\div2=132
132\div2=66
66\div2=33
Foram quatro divisões por 2, logo 2^{4}. Restou 33, e
33 = 3\cdot 11.
Portanto
528 = 2^{4}\cdot 3\cdot 11.
Isso coincide exatamente com o que a afirmação A diz sobre 528. Conclusão parcial: a afirmação A contém uma parte correta (para 528) e uma parte incorreta (para 5040). Assim a afirmação A, tomada como um todo, é Falsa.

Passo 4

Como calcular mdc e mmc a partir das decomposições canônicas (explicação didática):
  • Seja a=\prod p_i^{\alpha_i} e b=\prod p_i^{\beta_i}, onde para primos que não aparecem em um dos números o expoente correspondente é 0.
  • O mdc(a,b) tem expoentes \min(\alpha_i,\beta_i) para cada primo p_i.
  • O mmc(a,b) tem expoentes \max(\alpha_i,\beta_i) para cada primo p_i.
    Racionalização rápida: o mdc contém apenas os fatores primos comuns com o menor expoente comum; o mmc precisa conter todos os fatores necessários para reconstruir ambos os números, portanto toma o maior expoente de cada primo.

Passo 5

Aplicando isso a 5040 e 528. Primeiro escrevemos as decomposições corretas (usadas nos cálculos):
5040 = 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1}\cdot 11^{0},
528 = 2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}\cdot 7^{0}\cdot 11^{1}.
Para o mdc tomamos os mínimos dos expoentes:
\min\text{ para }2:\\ \min(4,4)=4,
\min\text{ para }3:\\ \min(2,1)=1,
e para 5,7,11 aparecem zeros em um dos números, então não contribuem para o mdc.
Logo
mdc(5040,528)=2^{4}\cdot 3^{1}=16\cdot 3=48.
Isto mostra que o valor 48 dado na afirmação B para o mdc está correto.

Passo 6

Para o mmc tomamos os máximos dos expoentes:
\max\text{ para }2:\\\ 4,\qquad \max\text{ para }3:\\\ 2,
\max\text{ para }5:\\\ 1,\qquad \max\text{ para }7:\\\ 1,\qquad \max\text{ para }11:\\\ 1.
Portanto
mmc(5040,528)=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11.
Calculemos esse produto de forma manual:
2^{4}\cdot 3^{2}=16\cdot 9=144,
5\cdot 7\cdot 11=35\cdot 11=385,
144\cdot 385 = 144\cdot(400-15)=144\cdot400-144\cdot15=57600-2160=55440.
Logo mmc(5040,528)=55440, que coincide com o número dado na afirmação B. Assim a afirmação B (sobre mdc e mmc) é Verdadeira.

Passo 7

Resumo final e interpretação: a decomposição de 5040 está escrita incorretamente na afirmação A (faltou uma potência de 2), a decomposição de 528 está correta; os valores de mdc e mmc apresentados na afirmação B estão corretos.

Resposta

F
V

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