(1,5) Encontre todas as soluções das seguintes congruências lineares:
6 x \equiv 27(\bmod 105).

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre todas as soluções da congruência linear
6x \equiv 27 \pmod{105}.
Informações dadas:
  • O coeficiente multiplicador é a=6.
  • O termo à direita é b=27.
  • O módulo é n=105.
    A pergunta é: quais inteiros x satisfazem essa congruência, descritos de forma completa (todas as classes residuais modulo 105)?

Passo 2

Primeiro passo prático e teórico: calcular o máximo divisor comum entre a e n.
d=\gcd(6,105).
Calculemos:
105 = 6\cdot17 + 3, \qquad 6 = 3\cdot2 + 0,
logo \gcd(6,105)=3.
Teorema importante (explicação didática): para a congruência \,a x \equiv b \pmod{n}\, existe solução se, e somente se, d=\gcd(a,n) divide b. Se d\nmid b não há solução. Se d\mid b, então existem exatamente d soluções distintas modulo n, e podemos reduzir a congruência dividindo tudo por d.
Aqui d=3 e 3 divide 27 (porque 27=3\cdot9), então existem soluções — exatamente 3 classes distintas modulo 105.

Passo 3

Dividimos a congruência por d=3 para simplificar. Dividindo 6x \equiv 27 \pmod{105} por 3 obtemos a congruência equivalente (com módulo dividido por 3):
\frac{6}{3}x \equiv \frac{27}{3} \pmod{\tfrac{105}{3}}
ou seja
2x \equiv 9 \pmod{35}.
Explicação didática: essa redução é válida porque estamos dividindo coeficiente, termo e módulo pelo mesmo divisor comum; assim as soluções da congruência reduzida correspondem às soluções da original, agrupadas em classes separadas por \tfrac{n}{d}.

Passo 4

Agora resolvemos a congruência reduzida \,2x \equiv 9 \pmod{35}\,. Como \gcd(2,35)=1, o número 2 tem inverso multiplicativo módulo 35. Se 2^{-1} é esse inverso, a solução é
x \equiv 2^{-1}\cdot 9 \pmod{35}.
Vamos achar 2^{-1}\pmod{35} usando o algoritmo de Euclides estendido (ou observação direta). Calculando:
35 = 2\cdot17 + 1 \quad\Rightarrow\quad 1 = 35 - 2\cdot17.
Da equação 1 = 35 - 2\cdot17 vemos que -17 é um coeficiente tal que 2\cdot(-17)\equiv 1\pmod{35}. Assim 2^{-1}\equiv -17\equiv 18 \pmod{35} (pois -17+35=18). Portanto o inverso de 2 módulo 35 é 18.

Passo 5

Multiplicamos pelo inverso para obter a solução particular modulo 35:
x \equiv 18\cdot 9 \pmod{35}.
Calcule 18\cdot9:
18\cdot9 = 162.
Reduzindo modulo 35:
162 - 4\cdot35 = 162 - 140 = 22.
Logo
x \equiv 22 \pmod{35}.
Isso nos dá todas as soluções da congruência reduzida — são todas as classes x = 22 + 35t com t\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Agora voltamos ao módulo original 105. Como vimos no Passo 2, existem exatamente d=3 soluções diferentes módulo 105. Elas vêm de tomar as soluções da congruência reduzida e acrescentar multiplos de \tfrac{n}{d}=35 até obter as 3 classes distintas modulo 105. Assim as soluções (representantes) são:
x \equiv 22 \pmod{35}\\ \Rightarrow\\ x = 22 + 35t.
Tomando t=0,1,2 (essas três dão as classes distintas modulo 105):
  • t=0: x=22.
  • t=1: x=22+35=57.
  • t=2: x=22+70=92.
Esses três valores representam as três classes distintas módulo 105.

Passo 7

Verificação rápida (checar que as três realmente funcionam):
6\cdot22 = 132 \equiv 132-105=27 \pmod{105},
6\cdot57 = 342 \equiv 342-3\cdot105=342-315=27 \pmod{105},
6\cdot92 = 552 \equiv 552-5\cdot105=552-525=27 \pmod{105}.
Todas dão resto 27 módulo 105, portanto estão corretas.

Resposta

x\equiv 22 \pmod{105}
x\equiv 57 \pmod{105}
x\equiv 92 \pmod{105}

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