Determine a área lateral de um cilindro reto de 30 \pi \mathrm{~cm}^{2} de área total, sendo o raio da base \frac{3}{2} da medida da altura do cilindro.

Passo 1

O enunciado fala de um cilindro reto cuja área total é \,30\pi c m^{2} e cujo raio da base é \tfrac{3}{2} vezes a altura. Precisamos encontrar a área lateral, sabendo que:
– área total de um cilindro:
A_{\text{total}} = 2\pi r h + 2\pi r^2
– área lateral de um cilindro:
A_{\text{lateral}} = 2\pi r h
– relação entre raio r e altura h:
r = \tfrac{3}{2}\,h.

Passo 2

Usamos a relação r = \tfrac{3}{2}\,h para expressar h em função de r:
h = \tfrac{2}{3}\,r.
Substituindo em A_{\text{total}}:
30\pi = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r\bigl(\tfrac{2}{3}r\bigr) + 2\pi r^2 = \tfrac{4}{3}\pi r^2 + 2\pi r^2 = \tfrac{10}{3}\,\pi r^2.

Passo 3

Da equação
\tfrac{10}{3}\,\pi r^2 = 30\pi
seguimos que
r^2 = 30 \times \tfrac{3}{10} = 9 \quad\Longrightarrow\quad r = 3\\ \text{cm}.
Logo
h = \tfrac{2}{3}\,r = \tfrac{2}{3}\times 3 = 2\\ \text{cm}.

Passo 4

Agora calculamos a área lateral:
A_{\text{lateral}} = 2\pi r h = 2\pi \times 3 \times 2 = 12\pi\\ \text{cm}^2.

Resposta

A área lateral do cilindro é 12\pi\\ \mathrm{cm}^2.

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