Determine a área lateral de um cilindro, sendo 150 \pi \mathrm{~cm}^{2} sua área total e sabendo que sua altura mede o triplo do raio da base.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro cuja área total é 150\pi,cm ^2 e a altura h vale o triplo do raio da base r. Queremos encontrar a área lateral, que depende de r e h. Vamos usar as fórmulas da geometria do cilindro:
— Área lateral:
A_{\text{lat}} = 2\pi r h
— Área total:
A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + 2\pi r^2 = 2\pi r h + 2\pi r^2

Passo 2

Substituímos na fórmula da área total a relação h=3r. Assim,
A_{\text{tot}} = 2\pi r\,(3r) + 2\pi r^2 = 6\pi r^2 + 2\pi r^2 = 8\pi r^2.
Como A_{\text{tot}}=150\pi, temos
8\pi r^2 = 150\pi.

Passo 3

Cancelamos \pi em ambos os lados e isolamos r^2:
8\,r^2 = 150 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \frac{150}{8} = \frac{75}{4}.
Logo
r = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\\ \text{cm}.

Passo 4

Para achar a área lateral usamos A_{\text{lat}}=2\pi r h e novamente h=3r, logo
A_{\text{lat}} = 2\pi r\,(3r) = 6\pi r^2 = 6\pi \cdot \frac{75}{4} = \frac{450}{4}\,\pi = \frac{225}{2}\,\pi\\ \text{cm}^2.

Resposta

A área lateral do cilindro é \displaystyle \frac{225}{2}\,\pi\\ \text{cm}^2.

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