Dão-se as áreas totais 18 \pi \mathrm{~m}^{2} e 32 \pi \mathrm{~m}^{2} de dois cilindros. Cada um tem por raio e por altura, respectivamente, a altura e o raio do outro. Determine os dois volumes.

Passo 1

O enunciado dá dois cilindros cujas áreas totais valem \,18\pi e \,32\pi. No cilindro 1 o raio é r_1 e a altura é h_1; no cilindro 2 o raio é r_2 e a altura é h_2. Sabe-se que
r_1 = h_2 \quad\text{e}\quad h_1 = r_2.
Vamos usar a fórmula da área total de um cilindro,
S = 2\pi r^2 + 2\pi r h,
para montar um sistema em r_1,r_2 e depois calcular os volumes.

Passo 2

Escrevendo as áreas:
S_1 = 2\pi r_1^2 + 2\pi r_1 h_1 = 18\pi,
S_2 = 2\pi r_2^2 + 2\pi r_2 h_2 = 32\pi.
Substituindo h_1 = r_2 e h_2 = r_1 e dividindo tudo por \pi:
2r_1^2 + 2r_1r_2 = 18 \quad\Rightarrow\quad r_1^2 + r_1r_2 = 9,
2r_2^2 + 2r_1r_2 = 32 \quad\Rightarrow\quad r_2^2 + r_1r_2 = 16.

Passo 3

Para resolver o sistema
\begin{cases} r_1^2 + r_1r_2 = 9,\\\ r_2^2 + r_1r_2 = 16, \end{cases}
subtraímos a primeira da segunda:
r_2^2 - r_1^2 = 7 \quad\Rightarrow\quad (r_2 - r_1)(r_2 + r_1) = 7.
Somando as duas equações originais dá
r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2 = 25 \quad\Rightarrow\quad (r_1 + r_2)^2 = 25 \quad\Rightarrow\quad r_1 + r_2 = 5.
Logo
r_2 - r_1 = \frac{7}{r_1 + r_2} = \frac{7}{5}.

Passo 4

Resolvendo
r_1 + r_2 = 5, \quad r_2 - r_1 = \frac{7}{5},
temos
r_2 = \frac{5 + \tfrac{7}{5}}{2} = \frac{16}{5}, \quad r_1 = 5 - \frac{16}{5} = \frac{9}{5}.
Então
h_1 = r_2 = \frac{16}{5}, \quad h_2 = r_1 = \frac{9}{5}.

Passo 5

O volume de um cilindro é V = \pi r^2 h. Assim,
V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^2 \Bigl(\frac{16}{5}\Bigr) = \frac{81\cdot16}{25\cdot5}\,\pi = \frac{1296\pi}{125},
V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi \Bigl(\frac{16}{5}\Bigr)^2 \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr) = \frac{256\cdot9}{25\cdot5}\,\pi = \frac{2304\pi}{125}.

Resposta

V_1 = \dfrac{1296\pi}{125}\\ \mathrm{m}^3,\quad V_2 = \dfrac{2304\pi}{125}\\ \mathrm{m}^3.

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