Determine a área lateral e o volume de um cubo circunscrito a uma esfera de
de superfície.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a área lateral de um cubo circunscrito a uma esfera cuja superfície é
. - Determinar o volume desse mesmo cubo.
Informações dadas:
- A área da superfície da esfera é
.
Não se resolve nada ainda; apenas ficou claro o que é pedido e o dado que temos.
Passo 2
Entender a relação entre a superfície da esfera e seu raio. A fórmula da área da superfície de uma esfera é
onde
é o raio da esfera (ou seja, a distância do centro até qualquer ponto da superfície). O enunciado nos deu a área da superfície, então vamos igualar:
Aqui cada símbolo significa:
é a constante da fórmula,
é o quadrado do raio e o lado direito é o valor dado da superfície.
Passo 3
Isolar
e calcular
. Dividindo ambos os lados por
e por
obtemos
Portanto
Em unidades:
Passo 4
Relacionar a esfera com o cubo circunscrito. “Cubo circunscrito a uma esfera” significa que a esfera está inscrita no cubo, tocando as seis faces do cubo. Nessa configuração, o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo. Se chamarmos a aresta do cubo de
, então
Aqui
é o comprimento da aresta do cubo.
Passo 5
Calcular a aresta do cubo usando o raio encontrado:
Em unidades:
Passo 6
Entender o que é “área lateral” do cubo e a fórmula para calculá-la. Um cubo tem 6 faces quadradas iguais; a “área lateral” normalmente refere-se à soma das áreas das quatro faces laterais (isto é, todas as faces exceto a face superior e a inferior). Cada face é um quadrado de área
. Logo a área lateral
é
Aqui
é a área de um quadrado de lado
e o fator
conta as quatro faces laterais.
Passo 7
Calcular a área lateral com
:
Unidades:
Passo 8
Entender e calcular o volume do cubo. A fórmula do volume
de um cubo de aresta
é
onde
significa multiplicar a aresta por ela mesma três vezes (comprimento × largura × altura, iguais no cubo).
Passo 9
Calcular o volume com
:
Unidades:
Resposta
Área lateral:
Volume:
Volume: