Determine a área lateral e o volume de um cubo circunscrito a uma esfera de 25 \pi \mathrm{~cm}^{2} de superfície.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a área lateral de um cubo circunscrito a uma esfera cuja superfície é \;25\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • Determinar o volume desse mesmo cubo.
Informações dadas:
  • A área da superfície da esfera é \;25\pi\\ \mathrm{cm}^2.
Não se resolve nada ainda; apenas ficou claro o que é pedido e o dado que temos.

Passo 2

Entender a relação entre a superfície da esfera e seu raio. A fórmula da área da superfície de uma esfera é
4\pi r^{2},
onde \;r\; é o raio da esfera (ou seja, a distância do centro até qualquer ponto da superfície). O enunciado nos deu a área da superfície, então vamos igualar:
4\pi r^{2}=25\pi.
Aqui cada símbolo significa: 4\pi é a constante da fórmula, r^{2} é o quadrado do raio e o lado direito é o valor dado da superfície.

Passo 3

Isolar r^{2} e calcular r. Dividindo ambos os lados por \pi e por 4 obtemos
r^{2}=\frac{25\pi}{4\pi}=\frac{25}{4}.
Portanto
r=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}.
Em unidades: \;r=\dfrac{5}{2}\\ \mathrm{cm}=2{,}5\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Relacionar a esfera com o cubo circunscrito. “Cubo circunscrito a uma esfera” significa que a esfera está inscrita no cubo, tocando as seis faces do cubo. Nessa configuração, o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo. Se chamarmos a aresta do cubo de \;a\;, então
a=2r.
Aqui \;a\; é o comprimento da aresta do cubo.

Passo 5

Calcular a aresta do cubo usando o raio encontrado:
a=2r=2\cdot\frac{5}{2}=5.
Em unidades: \;a=5\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Entender o que é “área lateral” do cubo e a fórmula para calculá-la. Um cubo tem 6 faces quadradas iguais; a “área lateral” normalmente refere-se à soma das áreas das quatro faces laterais (isto é, todas as faces exceto a face superior e a inferior). Cada face é um quadrado de área \;a^{2}. Logo a área lateral A_{\text{lat}} é
A_{\text{lat}}=4a^{2}.
Aqui a^{2} é a área de um quadrado de lado a e o fator 4 conta as quatro faces laterais.

Passo 7

Calcular a área lateral com a=5\\ \mathrm{cm}:
A_{\text{lat}}=4a^{2}=4\cdot 5^{2}=4\cdot 25=100.
Unidades: \;A_{\text{lat}}=100\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 8

Entender e calcular o volume do cubo. A fórmula do volume V de um cubo de aresta a é
V=a^{3},
onde a^{3} significa multiplicar a aresta por ela mesma três vezes (comprimento × largura × altura, iguais no cubo).

Passo 9

Calcular o volume com a=5\\ \mathrm{cm}:
V=5^{3}=125.
Unidades: \;V=125\\ \mathrm{cm}^{3}.

Resposta

Área lateral: 100\\ \mathrm{cm}^{2}
Volume: 125\\ \mathrm{cm}^{3}

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