Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede 54 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a área total do cubo é \;54\\ \text{cm}^2.
  • Pedido: determinar o volume da esfera circunscrita ao cubo (ou seja, a esfera que contém o cubo e passa por todos os seus vértices).

Passo 2

Encontrar o comprimento da aresta do cubo a partir da área total.
  • Fórmula da área total de um cubo: cada face é um quadrado de lado a, há 6 faces, logo
\text{Área total} = 6a^{2}.Á
  • Substituindo o valor dado:
6a^{2}=54.
  • Isolando a^{2}:
a^{2}=\frac{54}{6}=9.
  • Tomando a raiz quadrada (lado é comprimento positivo):
a=\sqrt{9}=3\\ \text{cm}.
Explicação didática rápida: a fórmula 6a^{2} vem de somar a área de 6 quadrados idênticos; resolver uma equação do tipo 6a^{2}=54 é dividir por 6 e extrair a raiz quadrada.

Passo 3

Determinar o raio da esfera circunscrita.
  • A esfera circunscrita ao cubo tem centro no centro do cubo e passa pelos vértices do cubo. O raio r é a distância do centro do cubo a um vértice.
  • A diagonal espacial do cubo (distância entre vértices opostos) tem comprimento
d=a\sqrt{3}.
Justificativa: a diagonal de uma face vale a\sqrt{2}; usando o teorema de Pitágoras novamente para a diagonal espacial obtém-se d=\sqrt{(a\sqrt{2})^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3}.
  • O raio é metade da diagonal espacial:
r=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
  • Substituindo a=3\\ \text{cm}:
r=\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ \text{cm}.

Passo 4

Fórmula do volume da esfera e cálculo passo a passo.
  • Fórmula do volume de uma esfera de raio r:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde V é o volume e \pi é a constante (aprox. 3{,}14159\ldots).
  • Substituir r=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}:
r^{3}=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{3}=\frac{(3\sqrt{3})^{3}}{2^{3}}.
  • Calcular (3\sqrt{3})^{3}: primeiro (3)^{3}=27 e (\sqrt{3})^{3}=(\sqrt{3})^{2}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}. Portanto
(3\sqrt{3})^{3}=27\cdot 3\sqrt{3}=81\sqrt{3}.
  • Logo
r^{3}=\frac{81\sqrt{3}}{8}.
  • Agora o volume:
V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{81\sqrt{3}}{8}.
  • Simplificar o fator numérico:
\frac{4}{3}\cdot\frac{81}{8}=\frac{4\cdot 81}{3\cdot 8}=\frac{324}{24}=\frac{27}{2}.
  • Assim
V=\frac{27}{2}\pi\sqrt{3}.
  • Escrevendo com unidades:
V=\frac{27\pi\sqrt{3}}{2}\\ \text{cm}^{3}.

Passo 5

Avaliação numérica aproximada (útil para conferir ordem de grandeza).
  • Calcular numericamente \pi\sqrt{3}\approx 3{,}14159\times 1{,}73205\approx 5{,}4414.
  • Multiplicando por \dfrac{27}{2}=13{,}5:
V\approx 13{,}5\times 5{,}4414\approx 73{,}46\\ \text{cm}^{3}.
  • Conclusão: o volume exato é \dfrac{27\pi\sqrt{3}}{2}\\ \text{cm}^{3}, aproximadamente 73{,}46\\ \text{cm}^{3}.

Resposta

\dfrac{27\pi\sqrt{3}}{2}\\ \text{cm}^{3}\approx 73{,}46\\ \text{cm}^{3}

Exercícios relacionados