Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a área total do cubo é
. - Pedido: determinar o volume da esfera circunscrita ao cubo (ou seja, a esfera que contém o cubo e passa por todos os seus vértices).
Passo 2
Encontrar o comprimento da aresta do cubo a partir da área total.
- Fórmula da área total de um cubo: cada face é um quadrado de lado
, há 6 faces, logo
- Substituindo o valor dado:
- Isolando
:
- Tomando a raiz quadrada (lado é comprimento positivo):
Explicação didática rápida: a fórmula
vem de somar a área de 6 quadrados idênticos; resolver uma equação do tipo
é dividir por 6 e extrair a raiz quadrada.
Passo 3
Determinar o raio da esfera circunscrita.
- A esfera circunscrita ao cubo tem centro no centro do cubo e passa pelos vértices do cubo. O raio
é a distância do centro do cubo a um vértice. - A diagonal espacial do cubo (distância entre vértices opostos) tem comprimento
Justificativa: a diagonal de uma face vale
; usando o teorema de Pitágoras novamente para a diagonal espacial obtém-se
.
- O raio é metade da diagonal espacial:
- Substituindo
:
Passo 4
Fórmula do volume da esfera e cálculo passo a passo.
- Fórmula do volume de uma esfera de raio
:
onde
é o volume e
é a constante (aprox.
).
- Substituir
:
- Calcular
: primeiro e . Portanto
- Logo
- Agora o volume:
- Simplificar o fator numérico:
- Assim
- Escrevendo com unidades:
Passo 5
Avaliação numérica aproximada (útil para conferir ordem de grandeza).
- Calcular numericamente
. - Multiplicando por
:
- Conclusão: o volume exato é
, aproximadamente .