Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 cm de aresta.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja aresta mede 12\\ \text{cm}.
Informações dadas:
  • A aresta do cubo vale a=12\\ \text{cm}.
  • A esfera é circunscrita ao cubo, ou seja, a esfera passa por todos os vértices do cubo (toque nos vértices).
  • Precisamos encontrar o volume da esfera em centímetros cúbicos.

Passo 2

Entender a geometria: onde está o centro da esfera e qual é o seu raio.
  • O centro da esfera circunscrita coincide com o centro do cubo (o ponto equidistante de todos os vértices).
  • O raio da esfera r é a distância do centro do cubo até qualquer vértice do cubo.
  • Para obter r vamos calcular a diagonal espacial do cubo (a distância entre dois vértices opostos) e, em seguida, tomar metade dessa diagonal, pois o centro fica no meio da diagonal.

Passo 3

Cálculo da diagonal espacial do cubo passo a passo (aplicando o Teorema de Pitágoras em 3D, explicado de forma simples).
  • Primeiro, a diagonal da face do cubo (diagonal de um quadrado de lado a) vale
\text{diagonal da face} = a\sqrt{2}.
Explicação: num quadrado de lado a, a diagonal é \sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}.
  • Em seguida, a diagonal espacial (diagonal que liga vértices opostos do cubo) é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela diagonal da face e uma aresta a. Assim
\text{diagonal espacial} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}.
Isso é simplesmente aplicar Pitágoras duas vezes (ou em 3D).

Passo 4

Relacionar a diagonal espacial com o raio da esfera.
  • A diagonal espacial liga dois vértices opostos; o centro do cubo (centro da esfera) está no ponto médio dessa diagonal. Logo o raio r é metade da diagonal espacial:
r = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Substituir a=12\\ \text{cm} e calcular r explicitamente.
  • Substituindo:
r = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\\ \text{cm}.

Passo 6

Lembrar e explicar a fórmula do volume da esfera.
  • A fórmula do volume de uma esfera de raio r é
V = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Explicação intuitiva: V é a quantidade de espaço dentro da esfera; a constante \pi aparece porque a esfera está ligada à geometria circular, e o fator \tfrac{4}{3} vem da integração da área dos círculos que compõem a esfera ao longo de seu diâmetro. Aqui r é o raio (distância do centro até a superfície) e r^{3} significa r\cdot r\cdot r.

Passo 7

Calcular r^{3} com r=6\sqrt{3}.
  • Primeiro elevar 6\sqrt{3} ao cubo:
r^{3} = (6\sqrt{3})^{3} = 6^{3}\,(\sqrt{3})^{3}.
  • Calcular separadamente:
6^{3} = 216, \qquad (\sqrt{3})^{3} = (\sqrt{3})^{2}\cdot\sqrt{3} = 3\sqrt{3}.
  • Portanto
r^{3} = 216 \cdot 3\sqrt{3} = 648\sqrt{3}.

Passo 8

Calcular o volume substituindo r^{3} na fórmula.
V = \frac{4}{3}\pi \, r^{3} = \frac{4}{3}\pi \cdot 648\sqrt{3}.
Fazer a simplificação numérica:
\frac{4}{3}\cdot 648 = 4\cdot 216 = 864,
logo
V = 864\sqrt{3}\,\pi\\ \text{cm}^{3}.

Passo 9

Dar também uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor aproximado).
  • Usando \sqrt{3}\approx 1,732 e \pi\approx 3,14159265:
864\sqrt{3}\approx 864\cdot 1,732 = 1496,448,
V \approx 1496,448\cdot \pi \approx 1496,448\cdot 3,14159265 \approx 4701,226\\ \text{cm}^{3}.
Arredondando para duas casas decimais:
V \approx 4701,23\\ \text{cm}^{3}.

Resposta

V = 864\sqrt{3}\,\pi\\ \text{cm}^{3}
V \approx 4701,23\\ \text{cm}^{3}

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