Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 cm de aresta.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja aresta mede
.
Informações dadas:
- A aresta do cubo vale
. - A esfera é circunscrita ao cubo, ou seja, a esfera passa por todos os vértices do cubo (toque nos vértices).
- Precisamos encontrar o volume da esfera em centímetros cúbicos.
Passo 2
Entender a geometria: onde está o centro da esfera e qual é o seu raio.
- O centro da esfera circunscrita coincide com o centro do cubo (o ponto equidistante de todos os vértices).
- O raio da esfera
é a distância do centro do cubo até qualquer vértice do cubo. - Para obter
vamos calcular a diagonal espacial do cubo (a distância entre dois vértices opostos) e, em seguida, tomar metade dessa diagonal, pois o centro fica no meio da diagonal.
Passo 3
Cálculo da diagonal espacial do cubo passo a passo (aplicando o Teorema de Pitágoras em 3D, explicado de forma simples).
- Primeiro, a diagonal da face do cubo (diagonal de um quadrado de lado
) vale
Explicação: num quadrado de lado
, a diagonal é
.
- Em seguida, a diagonal espacial (diagonal que liga vértices opostos do cubo) é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela diagonal da face e uma aresta
. Assim
Isso é simplesmente aplicar Pitágoras duas vezes (ou em 3D).
Passo 4
Relacionar a diagonal espacial com o raio da esfera.
- A diagonal espacial liga dois vértices opostos; o centro do cubo (centro da esfera) está no ponto médio dessa diagonal. Logo o raio
é metade da diagonal espacial:
Passo 5
Substituir
e calcular
explicitamente.
- Substituindo:
Passo 6
Lembrar e explicar a fórmula do volume da esfera.
- A fórmula do volume de uma esfera de raio
é
Explicação intuitiva:
é a quantidade de espaço dentro da esfera; a constante
aparece porque a esfera está ligada à geometria circular, e o fator
vem da integração da área dos círculos que compõem a esfera ao longo de seu diâmetro. Aqui
é o raio (distância do centro até a superfície) e
significa
.
Passo 7
Calcular
com
.
- Primeiro elevar
ao cubo:
- Calcular separadamente:
- Portanto
Passo 8
Calcular o volume substituindo
na fórmula.
Fazer a simplificação numérica:
logo
Passo 9
Dar também uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor aproximado).
- Usando
e :
Arredondando para duas casas decimais: