Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera de 8 cm de raio.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume de um cubo inscrito em uma esfera de 8\\ \text{cm} de raio.
Informações dadas:
  • Raio da esfera: R=8\\ \text{cm}.
  • O cubo está inscrito na esfera, isto é, todos os vértices do cubo estão sobre a superfície da esfera.
O que precisamos encontrar:
  • O volume do cubo inscrito (em \text{cm}^3).

Passo 2

Ideia geométrica principal (explicação passo a passo): para um cubo de aresta a a diagonal espacial (a reta que liga dois vértices opostos do cubo) tem comprimento dado por a\sqrt{3}. Vou mostrar por que isso é verdade.
Primeiro, a diagonal de uma face do cubo (um quadrado de lado a) vale a\sqrt{2} pela fórmula de Pitágoras aplicada à face: \sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}.
Agora, a diagonal espacial é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a diagonal da face ( a\sqrt{2}) e a aresta perpendicular a essa face ( a). Aplicando Pitágoras:
\text{diagonal espacial}=\sqrt{(a\sqrt{2})^2+a^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.

Passo 3

Relação entre esfera e cubo inscrito: para o cubo inscrito, os dois vértices opostos ligados pela diagonal espacial estão nos extremos de um diâmetro da esfera. Logo a diagonal espacial do cubo é igual ao diâmetro da esfera, que vale 2R. Portanto:
a\sqrt{3}=2R.

Passo 4

Isolando a na equação anterior:
a=\frac{2R}{\sqrt{3}}.
Substituindo R=8\\ \text{cm}:
a=\frac{2\cdot 8}{\sqrt{3}}=\frac{16}{\sqrt{3}}\\ \text{cm}.
Se quiser uma forma sem raiz no denominador, racionaliza-se:
a=\frac{16}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\\ \text{cm}.

Passo 5

Fórmula do volume do cubo e substituição: o volume do cubo é V=a^3. Usando a=\dfrac{16}{\sqrt{3}} temos
V=\left(\frac{16}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{16^3}{(\sqrt{3})^3}=\frac{4096}{3\sqrt{3}}\\ \text{cm}^3.
Racionalizando o denominador (multiplicando por \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}):
V=\frac{4096}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4096\sqrt{3}}{9}\\ \text{cm}^3.

Passo 6

Cálculo aproximado para ter uma noção numérica: usando \sqrt{3}\approx1,73205,
V\approx\frac{4096}{3\cdot1,73205}\approx788{,}675\\ \text{cm}^3.

Resposta

\displaystyle \frac{4096\sqrt{3}}{9}\\ \text{cm}^3
\approx 788{,}675\\ \text{cm}^3

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