Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera de 8 cm de raio.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume de um cubo inscrito em uma esfera de
de raio.
Informações dadas:
- Raio da esfera:
- O cubo está inscrito na esfera, isto é, todos os vértices do cubo estão sobre a superfície da esfera.
O que precisamos encontrar:
- O volume do cubo inscrito (em
).
Passo 2
Ideia geométrica principal (explicação passo a passo): para um cubo de aresta
a diagonal espacial (a reta que liga dois vértices opostos do cubo) tem comprimento dado por
. Vou mostrar por que isso é verdade.
Primeiro, a diagonal de uma face do cubo (um quadrado de lado
) vale
pela fórmula de Pitágoras aplicada à face:
.
Agora, a diagonal espacial é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a diagonal da face (
) e a aresta perpendicular a essa face (
). Aplicando Pitágoras:
Passo 3
Relação entre esfera e cubo inscrito: para o cubo inscrito, os dois vértices opostos ligados pela diagonal espacial estão nos extremos de um diâmetro da esfera. Logo a diagonal espacial do cubo é igual ao diâmetro da esfera, que vale
. Portanto:
Passo 4
Isolando
na equação anterior:
Substituindo
:
Se quiser uma forma sem raiz no denominador, racionaliza-se:
Passo 5
Fórmula do volume do cubo e substituição: o volume do cubo é
. Usando
temos
Racionalizando o denominador (multiplicando por
):
Passo 6
Cálculo aproximado para ter uma noção numérica: usando
,