Sejam
e
. Encontre as seguintes funções compostas e os respectivos domínios.
.
Passo 1
O enunciado fornece as funções
e pede que seja encontrada a função composta
e o respectivo domínio.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função
é a função afim . - A função
é a raiz quadrada, que só aceita entradas não negativas; entretanto, neste item específico só precisamos de . - A tarefa é: (i) calcular
explicitamente; (ii) determinar o domínio de .
Passo 2
Vou explicar o que significa composição e como determinar o domínio de uma função composta, passo a passo (conceito importante para a prova).
Definição de composição: para duas funções
e
, a composição
é a função dada por
Aqui, a entrada
entra primeiro em
; o resultado
é então usado como entrada de
.
Regra do domínio para composição: o domínio de
é o conjunto de todos os
que pertencem ao domínio de
e tal que
pertence ao domínio de
. Em símbolos:
No nosso caso
e
, então
Passo 3
Calcular
aplicando a definição: substituir
em
e depois aplicar
novamente.
Primeiro, o valor interno é
. Agora aplicamos
a esse resultado:
Agora usamos a fórmula de
: multiplicar por
e somar
. Assim,
Efetuando a multiplicação e a soma:
logo
Portanto a expressão da função composta é
Passo 4
Determinar o domínio de
usando a regra do passo 2.
Primeiro, qual é
? A função
é uma função polinomial (linear), e polinômios estão definidos para todo
. Então
Agora aplicamos a condição da composição:
Mas para qualquer
,
é um número real. Logo a condição
é sempre satisfeita. Portanto
Em notação de intervalo, o domínio é
.
Passo 5
Observação didática rápida (dica para a prova): quando as duas funções envolvidas na composição têm domínio
(por exemplo polinômios, funções lineares, exponenciais etc.), a composição também terá domínio
. Já se alguma das funções tiver restrição (por exemplo
que exige argumentos
ou frações que não admitem denominador zero), é preciso verificar explicitamente a condição “valor interno pertence ao domínio externo”. Isso evita erros comuns em provas.
Resposta
Domínio: