Sejam f(x)=3 x+2 e g(x)=\sqrt{x}. Encontre as seguintes funções compostas e os respectivos domínios.
f \circ f.

Passo 1

O enunciado fornece as funções
f(x)=3x+2 \qquad\text{e}\qquad g(x)=\sqrt{x}
e pede que seja encontrada a função composta f\circ f e o respectivo domínio.
Informações relevantes que temos:
  • A função f é a função afim f(x)=3x+2.
  • A função g é a raiz quadrada, que só aceita entradas não negativas; entretanto, neste item específico só precisamos de f\circ f.
  • A tarefa é: (i) calcular (f\circ f)(x) explicitamente; (ii) determinar o domínio de (f\circ f).

Passo 2

Vou explicar o que significa composição e como determinar o domínio de uma função composta, passo a passo (conceito importante para a prova).
Definição de composição: para duas funções A e B, a composição A\circ B é a função dada por
(A\circ B)(x)=A\big(B(x)\big).
Aqui, a entrada x entra primeiro em B; o resultado B(x) é então usado como entrada de A.
Regra do domínio para composição: o domínio de A\circ B é o conjunto de todos os x que pertencem ao domínio de B e tal que B(x) pertence ao domínio de A. Em símbolos:
\operatorname{Dom}(A\circ B)=\{x\in\operatorname{Dom}(B)\mid B(x)\in\operatorname{Dom}(A)\}.
No nosso caso A=f e B=f, então
\operatorname{Dom}(f\circ f)=\{x\in\operatorname{Dom}(f)\mid f(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}.

Passo 3

Calcular (f\circ f)(x) aplicando a definição: substituir x em f e depois aplicar f novamente.
Primeiro, o valor interno é f(x)=3x+2. Agora aplicamos f a esse resultado:
(f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=f(3x+2).
Agora usamos a fórmula de f: multiplicar por 3 e somar 2. Assim,
f(3x+2)=3\cdot(3x+2)+2.
Efetuando a multiplicação e a soma:
3\cdot(3x+2)=9x+6,
logo
f(3x+2)=9x+6+2=9x+8.
Portanto a expressão da função composta é
(f\circ f)(x)=9x+8.

Passo 4

Determinar o domínio de f\circ f usando a regra do passo 2.
Primeiro, qual é \operatorname{Dom}(f)? A função f(x)=3x+2 é uma função polinomial (linear), e polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Então
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Agora aplicamos a condição da composição:
\operatorname{Dom}(f\circ f)=\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)\in\mathbb{R}\}.
Mas para qualquer x\in\mathbb{R}, f(x)=3x+2 é um número real. Logo a condição f(x)\in\mathbb{R} é sempre satisfeita. Portanto
\operatorname{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.
Em notação de intervalo, o domínio é (-\infty,\infty).

Passo 5

Observação didática rápida (dica para a prova): quando as duas funções envolvidas na composição têm domínio \mathbb{R} (por exemplo polinômios, funções lineares, exponenciais etc.), a composição também terá domínio \mathbb{R}. Já se alguma das funções tiver restrição (por exemplo \sqrt{\cdot} que exige argumentos \ge 0 ou frações que não admitem denominador zero), é preciso verificar explicitamente a condição “valor interno pertence ao domínio externo”. Isso evita erros comuns em provas.

Resposta

(f\circ f)(x)=9x+8
Domínio: \mathbb{R}

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