18 (M) Resolva:
.
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral
da equação diferencial ordinária dada. Informações relevantes dadas: a equação relaciona a derivada de
com
à própria função
; não há condições iniciais fornecidas. Observação importante extraída do enunciado: se
for identicamente
então o lado direito vale
, logo
é uma solução trivial que devemos mencionar separadamente (porque ao manipular algébrica e integralmente podemos dividir por
e perder essa solução).
Passo 2
Decisão sobre o método (sem detalhes técnicos demais): a equação é da forma onde podemos separar as variáveis
e
. Separe
e
agrupando termos de
num lado e termos de
no outro. Para
podemos dividir por
e obter:
Aqui eu só reescrevi a equação isolando o diferencial
com fatores em
à esquerda e
à direita, que é o passo padrão para equações separáveis.
Passo 3
Simplificar a expressão que será integrada. O integrando do lado esquerdo pode ser decomposto em termos mais simples:
Explicação curta: dividir polinômio por
dá duas parcelas, uma proporcional a
e outra proporcional a
. Isso facilita a integração, porque conhecemos primitivas básicas para
e para
.
Passo 4
Integre ambos os lados. Integramos a igualdade
em relação a
no lado esquerdo e em relação a
no lado direito:
Calcule as primitivas uma a uma:
No lado direito,
onde
é a constante de integração. Juntando tudo:
Passo 5
Interpretação da solução implícita e tratamento da solução
. A solução geral para as soluções não identicamente nulas está dada implicitamente por
Lembre que durante a separação dividimos por
, então a solução
ficou fora dessa manipulação — mas é de fato solução da equação original. Portanto devemos listá-la separadamente:
é solução. Para
, a relação acima descreve a família de curvas solução.
Passo 6
(Se quiser uma forma explícita
em função de
) Podemos transformar a forma implícita numa forma explícita usando uma mudança e a função
de Lambert, que resolve equações do tipo
. Procedimento: defina
(então
). Multiplicando a relação implícita por
obtemos
com
. Exponenciando:
onde
. Aplicando a função inversa
(função de Lambert):
Voltando para
:
Observações:
vem da exponenciação; a função
tem ramos e restrições para produzir valores reais, então essa forma explícita exige cuidado com domínio e escolha de ramo. Para uma prova típica, a forma implícita
é já uma resposta perfeitamente aceitável.