18 (M) Resolva: frac{d y}{d x}=\frac{y}{1+y^{2}}.

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{1+y^{2}}.
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral y(x) da equação diferencial ordinária dada. Informações relevantes dadas: a equação relaciona a derivada de y com x à própria função y; não há condições iniciais fornecidas. Observação importante extraída do enunciado: se y(x) for identicamente 0 então o lado direito vale 0, logo y\equiv 0 é uma solução trivial que devemos mencionar separadamente (porque ao manipular algébrica e integralmente podemos dividir por y e perder essa solução).

Passo 2

Decisão sobre o método (sem detalhes técnicos demais): a equação é da forma onde podemos separar as variáveis x e y. Separe dy e dx agrupando termos de y num lado e termos de x no outro. Para y\neq 0 podemos dividir por y e obter:
\frac{1+y^{2}}{y}\,dy = dx.
Aqui eu só reescrevi a equação isolando o diferencial dy com fatores em y à esquerda e dx à direita, que é o passo padrão para equações separáveis.

Passo 3

Simplificar a expressão que será integrada. O integrando do lado esquerdo pode ser decomposto em termos mais simples:
\frac{1+y^{2}}{y}=\frac{1}{y}+y.
Explicação curta: dividir polinômio por y dá duas parcelas, uma proporcional a 1/y e outra proporcional a y. Isso facilita a integração, porque conhecemos primitivas básicas para 1/y e para y.

Passo 4

Integre ambos os lados. Integramos a igualdade
\left(\frac{1}{y}+y\right)dy = dx
em relação a y no lado esquerdo e em relação a x no lado direito:
\int\left(\frac{1}{y}+y\right)dy = \int dx.
Calcule as primitivas uma a uma:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| \quad\text{(porque a primitiva de \(1/y\) é logaritmo absoluto)},é
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
No lado direito,
\int dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Juntando tudo:
\ln|y|+\frac{y^{2}}{2}=x+C.

Passo 5

Interpretação da solução implícita e tratamento da solução y\equiv 0. A solução geral para as soluções não identicamente nulas está dada implicitamente por
\ln|y|+\frac{y^{2}}{2}=x+C.
Lembre que durante a separação dividimos por y, então a solução y\equiv 0 ficou fora dessa manipulação — mas é de fato solução da equação original. Portanto devemos listá-la separadamente: y(x)\equiv 0 é solução. Para y\neq 0, a relação acima descreve a família de curvas solução.

Passo 6

(Se quiser uma forma explícita y(x) em função de x) Podemos transformar a forma implícita numa forma explícita usando uma mudança e a função W de Lambert, que resolve equações do tipo w e^{w}=z. Procedimento: defina u=y^{2} (então \ln|y|=\tfrac{1}{2}\ln u). Multiplicando a relação implícita por 2 obtemos
\ln u + u = 2x + C_{1},
com C_{1}=2C. Exponenciando:
u e^{u} = e^{2x+C_{1}} = K e^{2x},
onde K=e^{C_{1}}>0. Aplicando a função inversa W (função de Lambert):
u = W\!\big(K e^{2x}\big).
Voltando para y:
y(x)=\pm\sqrt{W\!\big(K e^{2x}\big)}.
Observações: K>0 vem da exponenciação; a função W tem ramos e restrições para produzir valores reais, então essa forma explícita exige cuidado com domínio e escolha de ramo. Para uma prova típica, a forma implícita \ln|y|+\tfrac{y^{2}}{2}=x+C é já uma resposta perfeitamente aceitável.

Resposta

y(x)\equiv 0
\displaystyle \ln|y|+\frac{y^{2}}{2}=x+C
\displaystyle y(x)=\pm\sqrt{\,W\!\big(K e^{2x}\big)\,}

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