Determine a área do maior retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados e que pode ser inscrito na região limitada pelas curvas y=raiz1-x^2 e y=0.

Passo 1

Nesse problema temos que achar o maior retângulo de lados paralelos aos eixos dentro da região limitada pela semicircunferência y=raiz1-x^2 e pelo eixo y=0. Vamos usar otimização de uma função que representa a área do retângulo em função de uma variável.

Passo 2

Considere um retângulo simétrico em relação ao eixo y cujo vértice superior direito é (x,y) na curva. Então a largura é 2x e a altura é y. Como (x,y) está na semicircunferência, temos
y = raiz1-x^2
Assim a área é
A(x) = 2x ,raiz1-x^2, 0<= x<=1

Passo 3

Para maximizar A(x), derivamos:
$$ A’(x) = 2\sqrt{1-x^2} + 2x \cdot \frac12 (1-x2){-1/2}(-2x)
= 2\sqrt{1-x^2} - \frac{2x2}{\sqrt{1-x2}}. A'(x) = 2raiz1-x^2 + 2x cdot 12 (1-x^2)^-1/2(-2x) = 2raiz1-x^2 - 2x^2raiz1-x^2 2(1-x^2) - 2x^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 - 2x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{\sqrt2}. $$
Confirmamos que é máximo.

Passo 4

Substituindo x=1/raiz2 em A(x):
Al(1raiz2r) = 2cdot1raiz2cdotraiz1-12 = 2cdot1raiz2cdot1raiz2 =1

Resposta

1

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