Determine a área do maior retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados e que pode ser inscrito na região limitada pelas curvas
.
Passo 1
Nesse problema temos que achar o maior retângulo de lados paralelos aos eixos dentro da região limitada pela semicircunferência
e pelo eixo
. Vamos usar otimização de uma função que representa a área do retângulo em função de uma variável.
Passo 2
Considere um retângulo simétrico em relação ao eixo
cujo vértice superior direito é
na curva. Então a largura é
e a altura é
. Como
está na semicircunferência, temos
Assim a área é
Passo 3
Para maximizar
, derivamos:
$$ A’(x) = 2\sqrt{1-x^2} + 2x \cdot \frac12 (1-x2){-1/2}(-2x)
= 2\sqrt{1-x^2} - \frac{2x2}{\sqrt{1-x2}}.
2(1-x^2) - 2x^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 - 2x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{\sqrt2}. $$
Confirmamos que é máximo.
Passo 4
Substituindo
em
:
Resposta
1