Utilize a fórmula de curvatura , para encontrar a curvatura

Passo 1

Nesta questão, temos a curva r(t)=3t,hat i+4sin t,hat j+4cos t,hat k. O conteúdo é curvatura de curvas no espaço e vamos usar a fórmula
kappa(t)=l|r'(t)times r''(t)r|l|r'(t)r|^3
Para isso, precisaremos calcular as derivadas de r(t), o produto vetorial e as normas.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
r'(t)=ddtl(3t,hat i+4sin t,hat j+4cos t,hat kr) =3,hat i+4cos t,hat j-4sin t,hat k
E a segunda derivada:
r''(t)=ddtl(3,hat i+4cos t,hat j-4sin t,hat kr) =0,hat i-4sin t,hat j-4cos t,hat k

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial:
r'(t)times r''(t)= hat i & hat j & hat k 3 & 4cos t & -4sin t 0 & -4sin t & -4cos t =-16,hat i+12cos t,hat j-12sin t,hat k

Passo 4

Em seguida, calculamos as normas:
l|r'(t)times r''(t)r| =raiz(-16)^2+(12cos t)^2+(-12sin t)^2 =raiz256+144=20
l|r'(t)r| =raiz3^2+(4cos t)^2+(-4sin t)^2 =raiz9+16=5

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:
kappa(t)=205^3=20125=425

Resposta

425

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