Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t), e calcule a curvatura das seguintes funções:
r(t)=(cos (2 t),-sen(2 t), 4 t)

Passo 1

O problema pede para encontrar o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e a curvatura κ(t) da curva dada por r(t) = (cos(2t), –sen(2t), 4t). Vamos usar conceitos de derivadas de curvas no espaço, norma de vetores e as fórmulas padrões:
– T(t) = r’(t)/‖r’(t)‖
– N(t) = T’(t)/‖T’(t)‖
– κ(t) = ‖T’(t)‖/‖r’(t)‖

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas de r(t).
Derivando componente a componente temos:
r'(t)=l(,ddt[cos(2t)],,ddt[-sin(2t)],,ddt[4t]r) =l(-2sin(2t),,-2cos(2t),,4r)
Em seguida, a segunda derivada é
r''(t)=l(,-4cos(2t),,4sin(2t),,0r)

Passo 3

Agora calculamos a norma de r’(t):
|r'(t)|=raiz(-2sin(2t))^2+(-2cos(2t))^2+4^2= raiz4(sin^2(2t)+cos^2(2t))+16=raiz4+16=2raiz5
Com isso, o vetor tangente unitário é
T(t)=r'(t)|r'(t)|=l(-sin(2t)raiz5,,-cos(2t)raiz5,,2raiz5r)

Passo 4

Agora derivamos T(t) para obter o vetor que dará a direção normal:
T'(t)=l(-2cos(2t)raiz5,,2sin(2t)raiz5,,0r)
A norma de T’(t) é
|T'(t)|=raizl(-2cos(2t)raiz5r)^2+l(2sin(2t)raiz5r)^2=2raiz5
Assim, o vetor normal unitário é
N(t)=T'(t)|T'(t)|=l(-cos(2t),,sin(2t),,0r)

Passo 5

Por fim, a curvatura κ(t) pode ser calculada por
κ(t)=|T'(t)||r'(t)|=2raiz52raiz5=15
Note que a curvatura é constante ao longo da curva.

Passo 6

final_answer

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