Determine os vetores tangente e normal unitários
e
, e calcule a curvatura das seguintes funções:
Passo 1
O problema pede para encontrar o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e a curvatura κ(t) da curva dada por r(t) = (cos(2t), –sen(2t), 4t). Vamos usar conceitos de derivadas de curvas no espaço, norma de vetores e as fórmulas padrões:
– T(t) = r’(t)/‖r’(t)‖
– N(t) = T’(t)/‖T’(t)‖
– κ(t) = ‖T’(t)‖/‖r’(t)‖
– T(t) = r’(t)/‖r’(t)‖
– N(t) = T’(t)/‖T’(t)‖
– κ(t) = ‖T’(t)‖/‖r’(t)‖
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas de r(t).
Derivando componente a componente temos:
Em seguida, a segunda derivada é
Passo 3
Agora calculamos a norma de r’(t):
Com isso, o vetor tangente unitário é
Passo 4
Agora derivamos T(t) para obter o vetor que dará a direção normal:
A norma de T’(t) é
Assim, o vetor normal unitário é
Passo 5
Por fim, a curvatura κ(t) pode ser calculada por
Note que a curvatura é constante ao longo da curva.
Passo 6
final_answer