Uma janela tem formato retangular com um semi-círculo no topo. Determine as dimensões da janela de área máxima, se o perímetro é de 12 metros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma janela que tem formato retangular com um semi-círculo no topo, de maneira que a área dessa janela seja a maior possível. O perímetro disponível é de 12 metros. Vamos usar conceitos de geometria e otimização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar a largura da janela de $ L $ (em metros) e a altura do retângulo de $ H $ (em metros). Como tem um semi-círculo no topo, a largura do retângulo é igual ao diâmetro do semi-círculo.
Passo 3
Agora, vamos expressar o perímetro da janela. O perímetro inclui os dois lados verticais do retângulo, a base do retângulo e a parte curva do semi-círculo. A circunferência de um círculo completo é $ \pi \times diâmetro $, então a do semi-círculo é metade disso, ou seja, $ \frac{\pi L}{2} $. Assim, o perímetro total $ P $ fica:
Sabemos que $ P = 12 $ metros, então:
Passo 4
Vamos isolar $ H $ na equação do perímetro para poder expressar a área em função de $ L $. Subtraindo $ L + \frac{\pi L}{2} $ de ambos os lados:
Dividindo tudo por 2:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área total da janela. A área $ A $ é a soma da área do retângulo e da área do semi-círculo. A área do retângulo é $ L \times H $ e a área do semi-círculo é $ \frac{1}{2} \times \pi \times \left(\frac{L}{2}\right)^2 $:
Substituindo $ H $ da etapa anterior:
Passo 6
Simplificando a expressão da área:
Distribuindo o $ L $:
Vamos combinar os termos semelhantes para facilitar a derivação.
Passo 7
Para encontrar a área máxima, precisamos derivar a função $ A $ em relação a $ L $, igualar a derivada a zero e resolver para $ L $:
Após derivar e resolver essa equação, encontramos o valor de $ L $ que maximiza a área.
Passo 8
Após os cálculos, obtemos:
Substituindo $ L $ na equação de $ H $:
Resposta
As dimensões da janela que proporcionam a área máxima com um perímetro de 12 metros são aproximadamente 2 metros de largura e 2 metros de altura.