Uma janela tem formato retangular com um semi-círculo no topo. Determine as dimensões da janela de área máxima, se o perímetro é de 12 metros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma janela que tem formato retangular com um semi-círculo no topo, de maneira que a área dessa janela seja a maior possível. O perímetro disponível é de 12 metros. Vamos usar conceitos de geometria e otimização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar a largura da janela de $ L $ (em metros) e a altura do retângulo de $ H $ (em metros). Como tem um semi-círculo no topo, a largura do retângulo é igual ao diâmetro do semi-círculo.

Passo 3

Agora, vamos expressar o perímetro da janela. O perímetro inclui os dois lados verticais do retângulo, a base do retângulo e a parte curva do semi-círculo. A circunferência de um círculo completo é $ \pi \times diâmetro $, então a do semi-círculo é metade disso, ou seja, $ \frac{\pi L}{2} $. Assim, o perímetro total $ P $ fica:
pi times diâmetro
Sabemos que $ P = 12 $ metros, então:
pi L2

Passo 4

Vamos isolar $ H $ na equação do perímetro para poder expressar a área em função de $ L $. Subtraindo $ L + \frac{\pi L}{2} $ de ambos os lados:
H
Dividindo tudo por 2:
L

Passo 5

Agora, vamos calcular a área total da janela. A área $ A $ é a soma da área do retângulo e da área do semi-círculo. A área do retângulo é $ L \times H $ e a área do semi-círculo é $ \frac{1}{2} \times \pi \times \left(\frac{L}{2}\right)^2 $:
A
Substituindo $ H $ da etapa anterior:
L times H

Passo 6

Simplificando a expressão da área:
A = L(12 - L(1 + pi2))2 + pi L^28
Distribuindo o $ L $:
L
Vamos combinar os termos semelhantes para facilitar a derivação.

Passo 7

Para encontrar a área máxima, precisamos derivar a função $ A $ em relação a $ L $, igualar a derivada a zero e resolver para $ L $:
A
Após derivar e resolver essa equação, encontramos o valor de $ L $ que maximiza a área.

Passo 8

Após os cálculos, obtemos:
L = 121 + pi2 + pi4 approx 2 , metros
Substituindo $ L $ na equação de $ H $:
L

Resposta

As dimensões da janela que proporcionam a área máxima com um perímetro de 12 metros são aproximadamente 2 metros de largura e 2 metros de altura.

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