Determine a área do maior retângulo que pode ser inscrito na região delimitada pelos eixos coordenados e a curva y=27-x^{3}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a área do maior retângulo que pode ser desenhado na região limitada pelos eixos coordenados (eixo x e eixo y) e pela curva y = 27 - x^3. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de otimização, para encontrar essa área máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do retângulo que queremos inscrever nessa região. Como os eixos estão envolvidos, podemos considerar que um dos cantos do retângulo está na origem (0,0), outro no ponto (x,0) no eixo x, outro no ponto (0,y) no eixo y, e o último ponto na curva y = 27 - x^3, que será (x, 27 - x^3).

Passo 3

Agora, vamos expressar a área A do retângulo em termos de x. A base do retângulo é x (do eixo y até x) e a altura é y = 27 - x^3. Então, a área fica:
A(x) = x \times (27 - x^3)

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o valor de x que maximiza a área A(x). Para isso, vamos derivar A(x) em relação a x e encontrar onde essa derivada é zero (pontos críticos). Primeiro, expandindo a expressão:
A(x) = 27x - x^4
Derivando em relação a x:
A'(x) = \frac{dA}{dx} = 27 - 4x^3

Passo 5

Vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero:
27 - 4x^3 = 0 \implies 4x^3 = 27 \implies x^3 = \frac{27}{4} \implies x = \sqrt[3]{\frac{27}{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}

Passo 6

Com o valor de x encontrado, vamos calcular a área máxima. Substituindo x = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} na função da área:
A_{\text{máx}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \times \left(27 - \left(\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\right)^3\right)á
Calculando \left(\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\right)^3 = \frac{27}{4}, então:
A_{\text{máx}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \times \left(27 - \frac{27}{4}\right) = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \times \frac{81}{4} = \frac{243}{4 \sqrt[3]{4}}á

Resposta

A área máxima do retângulo é \frac{243}{4 \sqrt[3]{4}} unidades de área.

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