Determine a área do maior retângulo que pode ser inscrito na região delimitada pelos eixos coordenados e a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a área do maior retângulo que pode ser desenhado na região limitada pelos eixos coordenados (eixo
e eixo
) e pela curva
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de otimização, para encontrar essa área máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do retângulo que queremos inscrever nessa região. Como os eixos estão envolvidos, podemos considerar que um dos cantos do retângulo está na origem
, outro no ponto
no eixo
, outro no ponto
no eixo
, e o último ponto na curva
, que será
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a área
do retângulo em termos de
. A base do retângulo é
(do eixo
até
) e a altura é
. Então, a área fica:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que maximiza a área
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e encontrar onde essa derivada é zero (pontos críticos). Primeiro, expandindo a expressão:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, vamos calcular a área máxima. Substituindo
na função da área:
Calculando
, então:
Resposta
A área máxima do retângulo é
unidades de área.