1. Encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume máximo, com área lateral, somada com a área da base igual a 5 \mathrm{~cm}^{2}.
    (Resp: \sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}}, \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{3}} )

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, que maximize o volume.
  • Informação disponível: a soma da área lateral com a área da base é igual a 5\\ \mathrm{cm}^2.
  • Variáveis a determinar: os dois lados da base e a altura da caixa (todos em cm).
Resumo do pedido em linguagem direta: achar x, y (as dimensões da base) e h (a altura) que maximizem o volume da caixa sujeitas à restrição
\text{área lateral} + \text{área da base} = 5.áá

Passo 2

Escolher variáveis e escrever as fórmulas básicas.
  • Seja x>0 e y>0 os lados do retângulo da base (em cm).
  • Seja h>0 a altura da caixa (em cm).
  • Volume da caixa:
V = x y h.
  • Área da base:
A_{\text{base}} = x y.
  • Área lateral de uma caixa retangular sem tampa: soma das áreas das quatro faces laterais; cada par de faces tem área x h e y h, então
A_{\text{lateral}} = 2(xh + yh) = 2(x+y)h.

Passo 3

Escrever a restrição fornecida pelo enunciado.
A restrição é
A_{\text{lateral}} + A_{\text{base}} = 5,
ou seja
2(x+y)h + x y = 5.
Esta é a relação que liga x,y,h.

Passo 4

Expressar h em função de x e y, e obter V como função de x e y.
Da restrição isolamos h:
h = \frac{5 - x y}{2(x+y)}.
Substituindo em V = x y h obtemos
V(x,y) = x y \cdot \frac{5 - x y}{2(x+y)} = \frac{x y (5 - x y)}{2(x+y)}.
Nosso problema agora é maximizar a função V(x,y) para x>0, y>0 e x y<5 (para manter h>0).

Passo 5

Redução do problema usando simetria (motivação e prova curta).
Intuição: para muitos problemas com produto x y e soma x+y aparece simetria entre x e y; frequentemente a solução ótima tem x=y. Vamos justificar de maneira simples e elementar.
Defina u=x+y e v=x y. Note que, por desigualdade óbvia,
u^2 = (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \ge 4xy = 4v,
pois (x-y)^2\ge 0. Assim
u \ge 2\sqrt{v}.
Na expressão de V temos V=\dfrac{v(5-v)}{2u}. Para um dado v fixo, V é maior quando u é menor, e a desigualdade acima mostra que o menor u possível para dado v é u=2\sqrt{v}, que ocorre exatamente quando x=y. Logo, para maximizar V podemos restringir à linha x=y (pois isso reduz u e aumenta V para mesmo v). Assim a solução ótima ocorre com base quadrada: x=y.
(Em palavras: manter a base quadrada reduz a “perda” no denominador x+y, aumentando o volume.)

Passo 6

Reduzir a uma variável: tomar x=y=a>0.
Colocando x=y=a na restrição:
2(a+a)h + a^2 = 5 \quad\Rightarrow\quad 4 a h + a^2 = 5.
Isolando h:
h = \frac{5 - a^2}{4a}.
O volume em função de a fica
V(a) = a^2 h = a^2\cdot\frac{5 - a^2}{4a} = \frac{a(5 - a^2)}{4}.
Agora temos um problema de uma variável: maximizar V(a) para a>0 e a^2<5.

Passo 7

Maximizar V(a) usando derivada (passo a passo).
Calcule a derivada de V(a):
V'(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{a(5 - a^2)}{4}\right) = \frac{1}{4}\bigl(5 - a^2 + a(-2a)\bigr) = \frac{1}{4}\bigl(5 - 3a^2\bigr).
Zerando a derivada para achar pontos críticos:
V'(a)=0 \quad\Rightarrow\quad 5 - 3a^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a^2 = \frac{5}{3}.
Como a>0 escolhemos
a = \sqrt{\frac{5}{3}}.

Passo 8

Determinar a altura h correspondente e verificar que é máximo.
Calcule h usando a:
h = \frac{5 - a^2}{4a} = \frac{5 - \tfrac{5}{3}}{4\sqrt{\tfrac{5}{3}}} = \frac{\tfrac{10}{3}}{4\sqrt{\tfrac{5}{3}}} = \frac{10}{12}\cdot\frac{1}{\sqrt{\tfrac{5}{3}}} = \frac{5}{6}\sqrt{\frac{3}{5}}.
Simplificando essa expressão:
h = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}},
pois \dfrac{5}{6}\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}.
Verificação de máximo (teste da segunda derivada):
V''(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{1}{4}(5-3a^2)\right) = \frac{1}{4}(-6a) = -\frac{3a}{2}.
Para a>0 isso é negativo, logo o ponto crítico é um máximo local. Como a função vai a zero quando a\to 0^+ e quando a^2\to5^-, este máximo local é o máximo global admissível.

Passo 9

Resumo final e interpretação amigável.
Concluímos que a caixa de volume máximo, sujeita à restrição dada, tem base quadrada com lado
a=\sqrt{\frac{5}{3}}
e altura
h=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}.
Ou seja, os dois lados da base são iguais a \sqrt{\tfrac{5}{3}} e a altura é \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}. Tá feito — respira, você conseguiu! 😃

Resposta

\sqrt{\dfrac{5}{3}}\n
\sqrt{\dfrac{5}{3}}\n
\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}

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