- Encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume máximo, com área lateral, somada com a área da base igual a
.
(Resp:
)
(Resp:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pede encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, que maximize o volume.
- Informação disponível: a soma da área lateral com a área da base é igual a
. - Variáveis a determinar: os dois lados da base e a altura da caixa (todos em cm).
Resumo do pedido em linguagem direta: achar
,
(as dimensões da base) e
(a altura) que maximizem o volume da caixa sujeitas à restrição
Passo 2
Escolher variáveis e escrever as fórmulas básicas.
- Seja
e os lados do retângulo da base (em cm). - Seja
a altura da caixa (em cm). - Volume da caixa:
- Área da base:
- Área lateral de uma caixa retangular sem tampa: soma das áreas das quatro faces laterais; cada par de faces tem área
e , então
Passo 3
Escrever a restrição fornecida pelo enunciado.
A restrição é
ou seja
Esta é a relação que liga
.
Passo 4
Expressar
em função de
e
, e obter
como função de
e
.
Da restrição isolamos
:
Substituindo em
obtemos
Nosso problema agora é maximizar a função
para
,
e
(para manter
).
Passo 5
Redução do problema usando simetria (motivação e prova curta).
Intuição: para muitos problemas com produto
e soma
aparece simetria entre
e
; frequentemente a solução ótima tem
. Vamos justificar de maneira simples e elementar.
Defina
e
. Note que, por desigualdade óbvia,
pois
. Assim
Na expressão de
temos
. Para um dado
fixo,
é maior quando
é menor, e a desigualdade acima mostra que o menor
possível para dado
é
, que ocorre exatamente quando
. Logo, para maximizar
podemos restringir à linha
(pois isso reduz
e aumenta
para mesmo
). Assim a solução ótima ocorre com base quadrada:
.
(Em palavras: manter a base quadrada reduz a “perda” no denominador
, aumentando o volume.)
Passo 6
Reduzir a uma variável: tomar
.
Colocando
na restrição:
Isolando
:
O volume em função de
fica
Agora temos um problema de uma variável: maximizar
para
e
.
Passo 7
Maximizar
usando derivada (passo a passo).
Calcule a derivada de
:
Zerando a derivada para achar pontos críticos:
Como
escolhemos
Passo 8
Determinar a altura
correspondente e verificar que é máximo.
Calcule
usando
:
Simplificando essa expressão:
pois
.
Verificação de máximo (teste da segunda derivada):
Para
isso é negativo, logo o ponto crítico é um máximo local. Como a função vai a zero quando
e quando
, este máximo local é o máximo global admissível.
Passo 9
Resumo final e interpretação amigável.
Concluímos que a caixa de volume máximo, sujeita à restrição dada, tem base quadrada com lado
e altura
Ou seja, os dois lados da base são iguais a
e a altura é
. Tá feito — respira, você conseguiu! 😃