Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores u (e \mathbf{v}) nos seguintes casos:
u cdot v=-1, u é unitário e |v|=2|u|

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo gerado por u e v. Sabemos que a área é
A = lvert urvert,lvert vrvert,sintheta
onde theta é o ângulo entre os vetores. Os dados são:
ucdotv=-1, lvert urvert=1 (unitário) e lvert vrvert=2lvert urvert=2. Vamos usar a relação do produto escalar para achar costheta e daí sintheta.

Passo 2

Usamos
ucdotv = lvert urvert,lvert vrvertcostheta
Substituindo os valores:
-1 = (1),(2),costheta Longrightarrow costheta = -tfrac12

Passo 3

Para obter sintheta usamos a identidade sin^2theta + cos^2theta = 1:
sintheta = raiz1 - cos^2theta = raiz1 - l(-tfrac12r)^2 = raiz1 - tfrac14 = tfracraiz32

Passo 4

Agora calculamos a área:
A = lvert urvert,lvert vrvert,sintheta = (1),(2),raiz32 = raiz3

Resposta

A área do paralelogramo é raiz3.

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