Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores u (e \mathbf{v}) nos seguintes casos:
u cdot v=3 raiz2,|u|=2 e|v|=3

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u e v com
ucdotv=3raiz2, lverturvert=2 e lvertvrvert=3.
Queremos a área do paralelogramo que eles formam. Para isso vamos usar que essa área é
A = lverturvert,lvertvrvertsintheta,
onde theta é o ângulo entre u e v.

Passo 2

Para achar theta usamos a relação do produto escalar com o cosseno:
ucdotv = lverturvert,lvertvrvertcostheta
Substituindo os valores,
3raiz2 = (2)(3)costheta

Passo 3

Isolando costheta,
costheta = 3raiz22cdot3 = raiz22

Passo 4

Calculamos sintheta a partir de sintheta = raiz1-cos^2theta:
sintheta = raiz1 - l(raiz22r)^2 = raiz1 - tfrac12 = raiz22

Passo 5

Agora a área do paralelogramo é
A = lverturvert,lvertvrvertsintheta = (2)(3),raiz22 = 3raiz2

Resposta

A área do paralelogramo é 3raiz2.

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