Determine a área da parte do paraboloide y=x^2+z^2 cortada pelo plano y=25. [Dica: projete a superfície sobre o plano xz]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da parte do paraboloide y = x^2 + z^2 até a altura y = 25. Isso envolve usar a fórmula de área de superfície de um gráfico y = f(x,z): A = integral duplaD raiz1 + fx^2 + fz^2,dA, projetando a região sobre o plano xz.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, identificamos f(x,z)=x2+z2. Calculando as derivadas parciais temos:
fx = partialpartial x(x^2+z^2)=2x, fz=partialpartial z(x^2+z^2)=2z

Passo 3

Logo a função sob a raiz vira
raiz1 + fx^2 + fz^2 = raiz1 + (2x)^2 + (2z)^2 = raiz1 + 4(x^2+z^2)

Passo 4

O domínio de projeção D no plano xz é o disco x2+z2 ≤ 25. Em coordenadas polares (x= r cosθ, z= r sinθ), com 0 ≤ r ≤ 5 e 0 ≤ θ ≤ 2π, o elemento de área é dA = r dr dθ. Assim
A = integral0^2pi integral0^5 raiz1 + 4r^2, r ,dr,dθ

Passo 5

Para avaliar, faça a substituição u = 1+4r^2, du = 8r dr, de modo que r dr = du/8. Quando r=0, u=1; quando r=5, u=101. Então
integral0^5 rraiz1+4r^2,dr = 18 integral1^101 u^1/2,du = 18 cdot 23l[u^3/2r]1^101 = 112l(101^3/2 - 1r)

Passo 6

Multiplicando pela parte angular 2π, obtemos
A = 2pi cdot 112l(101^3/2-1r) = pi6l(101^3/2-1r)

Resposta

A = pi6l(101raiz101 - 1r)

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