Determine a área da parte do paraboloide
cortada pelo plano
. [Dica: projete a superfície sobre o plano xz]
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da parte do paraboloide y = x^2 + z^2 até a altura y = 25. Isso envolve usar a fórmula de área de superfície de um gráfico y = f(x,z):
, projetando a região sobre o plano xz.
Passo 2
Para aplicar a fórmula, identificamos f(x,z)=x2+z2. Calculando as derivadas parciais temos:
Passo 3
Logo a função sob a raiz vira
Passo 4
O domínio de projeção D no plano xz é o disco x2+z2 ≤ 25. Em coordenadas polares (x= r cosθ, z= r sinθ), com 0 ≤ r ≤ 5 e 0 ≤ θ ≤ 2π, o elemento de área é dA = r dr dθ. Assim
Passo 5
Para avaliar, faça a substituição u = 1+4r^2, du = 8r dr, de modo que r dr = du/8. Quando r=0, u=1; quando r=5, u=101. Então
Passo 6
Multiplicando pela parte angular 2π, obtemos