integral duplaR y e^x d A, onde D é a região do primeiro quadrante contida pelo círculo x^2+y^2=16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR y,e^x,dA, sendo R a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=16. O conteúdo é mudança de ordem de integração (Teorema de Fubini) e cálculo de integrais definidas, e vamos precisar usar a fórmula de antiderivada de x^2e^x (obtida por partes).

Passo 2

Usando Fubini, parametrizamos R como 0<= x<= 4 e 0<= y<= raiz16-x^2. Assim temos
integral duplaR y,e^x,dA = integralx=0^4integraly=0^raiz16-x^2 y,e^x,dy,dx

Passo 3

No passo interno, integramos em y:
integral0^raiz16-x^2 y,dy = y^22|0^raiz16-x^2 = 16 - x^22

Passo 4

Substituindo, a integral vira
integral duplaR y,e^x,dA = integral0^4 e^x cdot 16 - x^22,dx = 12integral0^4(16 - x^2)e^x,dx

Passo 5

Para calcular integral0^4(16 - x^2)e^x,dx, separamos:
integral0^416e^x,dx - integral0^4x^2e^x,dx

Passo 6

A primeira parte é imediata:
16integral0^4e^x,dx = 16(e^4-1)

Passo 7

Para integral x^2e^x,dx, usamos integração por partes: tome u=x^2, dv=e^xdx, obtendo como antiderivada
e^x(x^2-2x+2)+C

Passo 8

Portanto,
integral0^4x^2e^x,dx = l[e^x(x^2-2x+2)r]0^4 = e^4(16-8+2)-2 = 10e^4-2

Passo 9

Juntando tudo:
integral0^4(16 - x^2)e^x,dx = 16(e^4-1) - (10e^4-2) = 6e^4-14

Passo 10

Finalmente, lembrando do tfrac12 que tínhamos, obtemos a resposta.

Resposta

3e^4 - 7

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