A área da superfície da parte do paraboloide hiperbólico z=y^2-x^2 que está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície da parte do paraboloide hiperbólico definido por z=y²−x² que está entre os cilindros x²+y²=1 e x²+y²=4. O conteúdo é cálculo de área de superfície de gráfico z=f(x,y) e vamos precisar da fórmula de área S=integral duplaDraiz1+fx^2+fy^2,dA.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z=f(x,y)=y^2-x^2:
fx=partial zpartial x=-2x, fy=partial zpartial y=2y
Logo,
1+fx^2+fy^2=1+4x^2+4y^2=1+4r^2em coordenadas polares

Passo 3

Escrevemos o integral de área em coordenadas cartesianas e depois vamos usar polares:
S=integral dupla1<= x^2+y^2<=4raiz1+4x^2+4y^2,dx,dy

Passo 4

Passamos para coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, com rin[1,2] e thetain[0,2pi]. O jacobiano é r, então
S=integral0^2piintegral1^2raiz1+4r^2,r,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos o integral em r. Seja u=1+4r^2, então du=8r,dr e r,dr=du/8. Temos
integral rraiz1+4r^2,dr=integral raizu,duover8=1over82over3u^3/2=1over12(1+4r^2)^3/2
Avaliado de r=1 a r=2:
1over12l((1+16)^3/2-(1+4)^3/2r)=1over12l(17^3/2-5^3/2r)

Passo 6

Multiplicando pela integral em theta, que é 2pi, obtemos
S=2picdot1over12l(17^3/2-5^3/2r)=piover6l(17raiz17-5raiz5r)

Resposta

S=piover6l(17raiz17-5raiz5r)

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