Escolha três dos seguintes itens e resolva:
Determine o volume do sólido limitado por
e
. Determine e esboce a região de integração no plano.
Determine o volume do sólido limitado por
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o volume do sólido limitado por
, e . - Determinar e esboçar a região de integração no plano
.
Informações dadas:
- Superfície que define a altura do sólido:
. - Duas curvas no plano
que formam a projeção (as “paredes” verticais): (uma parábola com concavidade para a direita) e (reta, equivalente a ).
Observação/hipótese usada (esclarecendo a interpretação do enunciado): o sólido é o volume abaixo da superfície
e acima da região
do plano
delimitada pelas curvas
e
. Ou seja, o volume é
Passo 2
Entendendo a fórmula do volume dupla (mini-aula rápida): quando temos um sólido que está acima da região
no plano
e abaixo de uma superfície
, o volume é
Aqui
. A integração dupla soma, para cada ponto
, a altura
vezes um pequeno elemento de área
. Nosso trabalho agora é determinar
e calcular
.
Passo 3
Determinar a região
(encontrar interseções e limites):
As fronteiras de são
e
. Intersecção: resolver
As fronteiras de
Subtraindo os termos:
Fatorando:
logo as soluções são
e
.
Portanto a região
é o conjunto de pontos com
variando entre
e
. Para cada
fixo entre esses valores,
varia entre a curva à esquerda
e a curva à direita
. Para confirmar qual é a esquerda e qual é a direita, teste
:
e
, logo
no intervalo considerado. Assim
Passo 4
Montando a integral dupla com ordem
(mais direta aqui):
Agora calculamos a integral interna em
. Antiderivada de
em relação a
é
. Avaliando entre os limites:
Passo 5
Avaliação explícita da integral interna (mostrar as contas passo a passo):
Calcule em
:
Calcule
Calcule
em
:
Subtraindo:
Assim a integral dupla ficou reduzida a uma integral única em
:
Passo 6
Calcular a integral em
passo a passo (mostrando as antiderivadas):
Antiderivada de é
.
Antiderivada de é
.
Antiderivada de é
.
Portanto
Antiderivada de
Antiderivada de
Antiderivada de
Portanto
Agora avaliamos entre
e
.
Passo 7
Avaliar nos limites (detalhando as operações):
Primeiro em :
Primeiro em
Agora em
:
Colocando em denominador comum
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Passo 8
Interpretação final e instrução para esboçar a região
(como desenhar à mão):
- Interseções encontradas: quando
e as curvas se cruzam. - Pontos correspondentes no plano
: - Para
: e (ponto ). - Para
: e (ponto ).
- Para
- Para esboçar: desenhar o eixo
vertical e eixo horizontal; desenhar a parábola (aberta para a direita) e a reta (reta com coeficiente angular , intercepto em quando ); sombrear a região entre elas para de a . Essa é a região projetada no plano; o sólido é a coluna vertical sobre com altura em cada ponto dada por .