Escolha três dos seguintes itens e resolva:
Determine o volume do sólido limitado por z=2 x+1, x=y^{2} e x-y=2. Determine e esboce a região de integração no plano.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o volume do sólido limitado por z=2x+1, x=y^{2} e x-y=2.
  • Determinar e esboçar a região de integração no plano xy.
Informações dadas:
  • Superfície que define a altura do sólido: z=2x+1.
  • Duas curvas no plano xy que formam a projeção (as “paredes” verticais): x=y^{2} (uma parábola com concavidade para a direita) e x-y=2 (reta, equivalente a x=y+2).
Observação/hipótese usada (esclarecendo a interpretação do enunciado): o sólido é o volume abaixo da superfície z=2x+1 e acima da região D do plano xy delimitada pelas curvas x=y^{2} e x=y+2. Ou seja, o volume é
V=\iint_{D} (2x+1)\,dA.

Passo 2

Entendendo a fórmula do volume dupla (mini-aula rápida): quando temos um sólido que está acima da região D no plano xy e abaixo de uma superfície z=f(x,y), o volume é
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=2x+1. A integração dupla soma, para cada ponto (x,y)\in D, a altura 2x+1 vezes um pequeno elemento de área dA. Nosso trabalho agora é determinar D e calcular \iint_D (2x+1)\,dA.

Passo 3

Determinar a região D (encontrar interseções e limites):
As fronteiras de D são x=y^{2} e x=y+2. Intersecção: resolver
y^{2}=y+2.
Subtraindo os termos:
y^{2}-y-2=0.
Fatorando:
(y-2)(y+1)=0,
logo as soluções são y=2 e y=-1.
Portanto a região D é o conjunto de pontos com y variando entre -1 e 2. Para cada y fixo entre esses valores, x varia entre a curva à esquerda x=y^{2} e a curva à direita x=y+2. Para confirmar qual é a esquerda e qual é a direita, teste y=0: y^{2}=0 e y+2=2, logo y^{2}\le y+2 no intervalo considerado. Assim
D=\{(x,y)\mid -1\le y\le 2,\; y^{2}\le x\le y+2\}.

Passo 4

Montando a integral dupla com ordem dx\,dy (mais direta aqui):
V=\int_{y=-1}^{2}\left(\int_{x=y^{2}}^{y+2} (2x+1)\,dx\right)dy.
Agora calculamos a integral interna em x. Antiderivada de 2x+1 em relação a x é x^{2}+x. Avaliando entre os limites:
\int_{x=y^{2}}^{y+2} (2x+1)\,dx = \bigl[x^{2}+x\bigr]_{x=y^{2}}^{x=y+2}.

Passo 5

Avaliação explícita da integral interna (mostrar as contas passo a passo):
Calcule x^{2}+x em x=y+2:
(y+2)^{2}+(y+2)=y^{2}+4y+4 + y+2 = y^{2}+5y+6.
Calcule x^{2}+x em x=y^{2}:
(y^{2})^{2} + y^{2} = y^{4}+y^{2}.
Subtraindo:
\int_{x=y^{2}}^{y+2} (2x+1)\,dx = \bigl(y^{2}+5y+6\bigr) - \bigl(y^{4}+y^{2}\bigr) = -y^{4}+5y+6.
Assim a integral dupla ficou reduzida a uma integral única em y:
V=\int_{-1}^{2} \bigl(-y^{4}+5y+6\bigr)\,dy.

Passo 6

Calcular a integral em y passo a passo (mostrando as antiderivadas):
Antiderivada de -y^{4} é -\dfrac{y^{5}}{5}.
Antiderivada de 5y é \dfrac{5y^{2}}{2}.
Antiderivada de 6 é 6y.
Portanto
\int \bigl(-y^{4}+5y+6\bigr)\,dy = -\dfrac{y^{5}}{5} + \dfrac{5y^{2}}{2} +6y.
Agora avaliamos entre y=-1 e y=2.

Passo 7

Avaliar nos limites (detalhando as operações):
Primeiro em y=2:
-\dfrac{2^{5}}{5} + \dfrac{5\cdot 2^{2}}{2} + 6\cdot 2 = -\dfrac{32}{5} + \dfrac{5\cdot 4}{2} + 12 = -\dfrac{32}{5} + 10 + 12 = -\dfrac{32}{5} + 22 = \dfrac{-32+110}{5} = \dfrac{78}{5}.
Agora em y=-1:
-\dfrac{(-1)^{5}}{5} + \dfrac{5\cdot(-1)^{2}}{2} + 6\cdot(-1) = -\dfrac{-1}{5} + \dfrac{5\cdot 1}{2} -6 = \dfrac{1}{5} + \dfrac{5}{2} -6.
Colocando em denominador comum 10:
\dfrac{1}{5} + \dfrac{5}{2} -6 = \dfrac{2}{10} + \dfrac{25}{10} - \dfrac{60}{10} = -\dfrac{33}{10}.
Subtraindo (valor em 2 menos valor em -1):
V = \dfrac{78}{5} - \left(-\dfrac{33}{10}\right) = \dfrac{156}{10} + \dfrac{33}{10} = \dfrac{189}{10}.

Passo 8

Interpretação final e instrução para esboçar a região D (como desenhar à mão):
  • Interseções encontradas: quando y=-1 e y=2 as curvas se cruzam.
  • Pontos correspondentes no plano xy:
    • Para y=-1: x=y^{2}=1 e x=y+2=1 (ponto (1,-1)).
    • Para y=2: x=y^{2}=4 e x=y+2=4 (ponto (4,2)).
  • Para esboçar: desenhar o eixo y vertical e eixo x horizontal; desenhar a parábola x=y^{2} (aberta para a direita) e a reta x=y+2 (reta com coeficiente angular 1, intercepto em x=2 quando y=0); sombrear a região entre elas para y de -1 a 2. Essa é a região D projetada no plano; o sólido é a coluna vertical sobre D com altura em cada ponto dada por z=2x+1.

Resposta

V=\dfrac{189}{10}.
D=\{(x,y)\mid -1\le y\le 2,\; y^{2}\le x\le y+2\}.

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