Dado o campo vetorial
e a curva parametrizada
, sendo o segmento de reta que une os pontos
e
, faça o que se pede:
Utilizando a função
encontrada no item b, determine o valor da integral
.
Utilizando a função
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve campos vetoriais e integrais de linha. O enunciado nos fornece um campo vetorial
e uma curva
, que é o segmento de reta que une os pontos
e
. Precisamos determinar o valor da integral
utilizando uma função potencial
encontrada previamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial
é dito conservativo se existir uma função escalar
tal que
, onde
representa o gradiente de
. Se
for conservativo, a integral de linha
depende apenas dos valores de
nos pontos inicial e final da curva
, e não do caminho seguido.
Passo 3
Dado que já temos a função potencial
do item b, podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha. Este teorema nos diz que:
onde
é o ponto inicial e
é o ponto final da curva
.
Passo 4
Identificamos os pontos inicial
e final
. Precisamos avaliar a função potencial
nesses pontos. Supondo que a função potencial encontrada seja:
Passo 5
Calculamos
e
substituindo as coordenadas dos pontos na função
:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: