Dado o campo vetorial F(x, y, z)=(e^y) imath+(x e^y+e^z) jmath+(y e^z) k e a curva parametrizada C, sendo o segmento de reta que une os pontos (0,2,0) e (4,0,3), faça o que se pede:
Utilizando a função f encontrada no item b, determine o valor da integral integralC F cdot d r.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve campos vetoriais e integrais de linha. O enunciado nos fornece um campo vetorial F(x, y, z)=(e^y) imath+(x e^y+e^z) jmath+(y e^z) k e uma curva C, que é o segmento de reta que une os pontos (0,2,0) e (4,0,3). Precisamos determinar o valor da integral integralC F cdot d r utilizando uma função potencial f encontrada previamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial F é dito conservativo se existir uma função escalar f tal que F = nabla f, onde nabla f representa o gradiente de f. Se F for conservativo, a integral de linha integralC F cdot d r depende apenas dos valores de f nos pontos inicial e final da curva C, e não do caminho seguido.

Passo 3

Dado que já temos a função potencial f do item b, podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha. Este teorema nos diz que:
integralC F cdot d r = f(Q) - f(P)
onde P é o ponto inicial e Q é o ponto final da curva C.

Passo 4

Identificamos os pontos inicial P = (0, 2, 0) e final Q = (4, 0, 3). Precisamos avaliar a função potencial f nesses pontos. Supondo que a função potencial encontrada seja:
f(x, y, z) = e^yx + e^zz

Passo 5

Calculamos f(Q) e f(P) substituindo as coordenadas dos pontos na função f:
Para Q = (4, 0, 3):
f(4, 0, 3) = e^0 cdot 4 + e^3 cdot 3 = 4 + 3e^3
Para P = (0, 2, 0):
f(0, 2, 0) = e^2 cdot 0 + e^0 cdot 0 = 0 + 0 = 0

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
integralC F cdot d r = f(Q) - f(P) = 4 + 3e^3 - 0 = 4 + 3e^3

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