Determine:
A área de uma pétala da rosácea r=3 sen 4 theta

Passo 1

O enunciado pede a área de uma pétala da rosácea dada em coordenadas polares por
r = 3 sen(4theta)
O conteúdo necessário é a fórmula da área em coordenadas polares:
A = 12 integralalpha^beta r^2,dtheta

Passo 2

Para isolar uma pétala, observamos que r>=0 quando sen(4theta)>=0. As raízes de sen(4theta)=0 ocorrem em
4theta = mpi Longrightarrow theta = mpi4
No primeiro intervalo positivo temos 0 <= 4theta <= pi, isto é
0 <= theta <= pi4,
que corresponde a uma pétala.

Passo 3

Montamos a integral da área de uma pétala substituindo r na fórmula:
A = 12 integral0^pi/4 l(3sen(4theta)r)^2 dtheta = 92 integral0^pi/4 sen^2(4theta),dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de redução
sen^2(4theta) = 1 - cos(8theta)2,
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integral sen^2(4theta),dtheta = integral 1 - cos(8theta)2,dtheta = 12,theta - sin(8theta)16 + C

Passo 5

Avaliamo-la de 0 a pi/4:
integral0^pi/4 sen^2(4theta),dtheta = l[tfrac12,theta - tfracsin(8theta)16r]0^pi/4 = 12cdotpi4 - 0 = pi8
Substituindo em A=92integral0^pi/4sen^2(4theta),dtheta, vem
A = 92cdotpi8 = 9pi16

Resposta

9pi16

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