Determine a reta tangente a curva dada pela equaçäo polar r=cos 2 theta em:
(0,75) theta=pi2

Passo 1

Temos a curva polar
r = cos 2theta
e queremos a reta tangente no ponto correspondente a theta = pi2. Para isso vamos usar a transformação para coordenadas cartesianas
x = rcostheta, y = rsintheta
e a fórmula da derivada em coordenadas polares
dydx = dydthetadxdtheta

Passo 2

Calculamos as derivadas em função de theta. Primeiro escrevemos
r = cos 2theta Longrightarrow drdtheta = -2sin2theta
Em seguida, usando x = rcostheta e y = rsintheta, temos
dxdtheta = drdthetacostheta ;-; rsintheta,
dydtheta = drdthetasintheta ;+; rcostheta

Passo 3

Avaliamo-os em theta = pi2. Primeiro o valor de r e de drdtheta:
rl(tfracpi2r) = cosl(2cdottfracpi2r) = cospi = -1,
drdthetal(tfracpi2r) = -2sinl(2cdottfracpi2r) = -2sinpi = 0

Passo 4

Agora o ponto e as derivadas de x e y:
x0 = rcostheta = (-1)cosl(tfracpi2r) = 0, y0 = rsintheta = (-1)sinl(tfracpi2r) = -1
dxdthetal(tfracpi2r) = 0cdot0 - (-1)cdot1 = 1,
dydthetal(tfracpi2r) = 0cdot1 + (-1)cdot0 = 0
Logo a inclinação da tangente é
m = dy/dthetadx/dtheta = 01 = 0

Resposta

A reta tangente em theta=tfracpi2 passa por (0,-1) com inclinação 0, ou seja
y = -1

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