Demonstre que:
Se a série
converge então a série
converge.
Se a série
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a série de termos não negativos
converge, então a série (possivelmente com sinais)
também converge. O conteúdo principal aqui é o crité-rio de Cauchy para séries e a desigualdade triangular.
Passo 2
Definimos as somas parciais
Como
sum l|anr| converge, a sequência
(tn) é de Cauchy: para todo
varepsilon>0 , existe
N tal que, para
m,n>= N ,
Passo 3
Para qualquer
n>m>= N , aplicamos a desigualdade triangular às somas parciais de
ak :
Isso mostra que
(sn) também é uma sequência de Cauchy.
Passo 4
Como em
R toda sequência de Cauchy converge, segue que
(sn) converge. Logo, a série
converge.
Resposta
Fica demonstrado que a convergência de
sumn=1^inftyl|anr| implica a convergência de
sumn=1^inftyan .