Demonstre que:
Se a série sumn=1^infty|an| converge então a série sumn=1^infty an converge.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a série de termos não negativos
sumn=1^inftyl|anr|
converge, então a série (possivelmente com sinais)
sumn=1^inftyan
também converge. O conteúdo principal aqui é o crité-rio de Cauchy para séries e a desigualdade triangular.

Passo 2

Definimos as somas parciais
sn = sumk=1^nak e tn = sumk=1^nl|akr|
Como sum l|anr| converge, a sequência (tn) é de Cauchy: para todo varepsilon>0, existe N tal que, para m,n>= N,
l|tn-tmr|<varepsilon

Passo 3

Para qualquer n>m>= N, aplicamos a desigualdade triangular às somas parciais de ak:
l|sn-smr| =l|sumk=m+1^nakr| <=sumk=m+1^nl|akr| =l|tn-tmr| <varepsilon
Isso mostra que (sn) também é uma sequência de Cauchy.

Passo 4

Como em R toda sequência de Cauchy converge, segue que (sn) converge. Logo, a série
sumn=1^inftyan
converge.

Resposta

Fica demonstrado que a convergência de sumn=1^inftyl|anr| implica a convergência de sumn=1^inftyan.

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