Calcule
para as funções e curvas indicadas abaixo:
, onde C é a a elipse
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o integral de linha escalar
onde
e
é a elipse
O que vamos usar: 1) parametrização da elipse, 2) fórmula de
em termos de
, 3) simetria para mostrar que o integral se anula.
Passo 2
Parametrizamos a elipse por
com
variando de
a
. Isso descreve toda a curva
exatamente uma vez.
Passo 3
Calculamos as derivadas e
:
Também
Passo 4
Substituindo em
, obtemos
Vamos chamar
Passo 5
Note que a função integranda é do tipo
. Basta usar a substituição
no trecho de
a
para ver que cada metade se anula:
quando temos
e
, logo
quando
O mesmo vale de
a
por periodicidade, concluindo que
.