Calcule \int_{C} f d s para as funções e curvas indicadas abaixo:
f(x, y)=x y, onde C é a a elipse \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral de linha escalar
\int_{C}f\,ds
onde f(x,y)=x\,y e C é a elipse
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.
O que vamos usar: 1) parametrização da elipse, 2) fórmula de ds em termos de t, 3) simetria para mostrar que o integral se anula.

Passo 2

Parametrizamos a elipse por
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=\sin t,
com t variando de 0 a 2\pi. Isso descreve toda a curva C exatamente uma vez.

Passo 3

Calculamos as derivadas e ds:
x'(t)=-2\sin t,\quad y'(t)=\cos t
ds=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt =\sqrt{4\sin^{2}t+\cos^{2}t}\;dt =\sqrt{1+3\sin^{2}t}\;dt.
Também
f\bigl(x(t),y(t)\bigr) =(2\cos t)\,(\sin t) =2\cos t\;\sin t =\sin(2t).

Passo 4

Substituindo em \displaystyle\int_{C}f\,ds, obtemos
\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,\sqrt{1+3\sin^{2}t}\;dt.
Vamos chamar
I=\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,\sqrt{1+3\sin^{2}t}\;dt.

Passo 5

Note que a função integranda é do tipo \sin(2t)\times g(\sin^{2}t). Basta usar a substituição u=\pi-t no trecho de 0 a \pi para ver que cada metade se anula:
quando t\mapsto \pi-t temos \sin(2(\pi-t))=-\sin(2t) e \sin^{2}(\pi-t)=\sin^{2}t, logo
\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\sqrt{1+3\sin^{2}t}\,dt =-\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\sqrt{1+3\sin^{2}t}\,dt =0.
O mesmo vale de \pi a 2\pi por periodicidade, concluindo que I=0.

Resposta

\int_{C}x\,y\,ds = 0.

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