Determine a área do quadrado inscrito:
em um semicírculo de raio 2 crn.
em um semicírculo de raio 2 crn.
Passo 1
O enunciado dá um semicírculo de raio
e pede a área do quadrado inscrito.
Informações relevantes e o que se pede:
Informações relevantes e o que se pede:
- Raio do semicírculo:
. - “Quadrado inscrito” aqui significa que a base do quadrado está sobre o diâmetro do semicírculo e os dois vértices superiores tangenciam o arco (estão sobre a semicircunferência).
- Objetivo: calcular a área do quadrado em
.
Passo 2
Escolha de coordenadas e definição das variáveis (isso facilita muito a conta). Coloco o centro do círculo na origem do plano
e o diâmetro ao longo do eixo
. O semicírculo é a parte superior da circunferência de equação
Chamo de
o lado do quadrado. Por simetria, posiciono o quadrado centrado no eixo
: a base vai de
a
em
, e os vértices superiores têm coordenadas
.
Passo 3
Condição de inscrição: os vértices superiores
devem satisfazer a equação da circunferência. Logo:
Agora simplifico a expressão:
, então
Passo 4
Isolo
e comparo com
:
A área do quadrado é exatamente
, então
Passo 5
Substituo
:
Em forma decimal isso é
, caso prefira ver o valor aproximado.