Determine a área do quadrado inscrito:
em um semicírculo de raio 2 crn.

Passo 1

O enunciado dá um semicírculo de raio R=2\\ \text{cm} e pede a área do quadrado inscrito.
Informações relevantes e o que se pede:
  • Raio do semicírculo: R=2\\ \text{cm}.
  • “Quadrado inscrito” aqui significa que a base do quadrado está sobre o diâmetro do semicírculo e os dois vértices superiores tangenciam o arco (estão sobre a semicircunferência).
  • Objetivo: calcular a área do quadrado em \text{cm}^2.

Passo 2

Escolha de coordenadas e definição das variáveis (isso facilita muito a conta). Coloco o centro do círculo na origem do plano (0,0) e o diâmetro ao longo do eixo x. O semicírculo é a parte superior da circunferência de equação
x^{2}+y^{2}=R^{2}.
Chamo de a o lado do quadrado. Por simetria, posiciono o quadrado centrado no eixo y: a base vai de x=-\tfrac{a}{2} a x=+\tfrac{a}{2} em y=0, e os vértices superiores têm coordenadas \left(\pm\tfrac{a}{2},\,a\right).

Passo 3

Condição de inscrição: os vértices superiores \left(\tfrac{a}{2},a\right) devem satisfazer a equação da circunferência. Logo:
\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+a^{2}=R^{2}.
Agora simplifico a expressão: \left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}=\tfrac{a^{2}}{4}, então
\frac{a^{2}}{4}+a^{2}=\frac{5}{4}a^{2}=R^{2}.

Passo 4

Isolo a^{2} e comparo com R:
a^{2}=\frac{4}{5}R^{2}.
A área do quadrado é exatamente a^{2}, então
\text{Área}=a^{2}=\frac{4}{5}R^{2}.Á

Passo 5

Substituo R=2\\ \text{cm}:
\text{Área}=\frac{4}{5}\cdot(2)^{2}=\frac{4}{5}\cdot 4=\frac{16}{5}\\ \text{cm}^{2}.Á
Em forma decimal isso é \,3{,}2\\ \text{cm}^{2}, caso prefira ver o valor aproximado.

Resposta

\dfrac{16}{5}\\ \text{cm}^{2}

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