Determine f^-1(x).
a) f(x)=9-2 x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da função f(x)=9–2x². O conteúdo aqui é inversão de funções, que envolve resolver y=f(x) para x e depois trocar x↔y. Precisamos também garantir que f seja injetora, já que uma função quadrática não é injetora em ℝ inteiro.

Passo 2

Começamos definindo y=f(x), ou seja:
y=9-2x^2

Passo 3

Agora isolamos x: primeiro passamos 9 para o outro lado e dividimos por –2:
2x^2=9-y
x^2=9-y2

Passo 4

Tomando raiz quadrada em ambos os lados, obtemos:
x=pmraiz9-y2
Até aqui temos duas soluções, mas para ter inversa precisamos de ramo único. Observe que f não é injetora em ℝ, então restringimos o domínio. Por exemplo, se considerarmos f definida em [0,∞), então f é estritamente decrescente ali.

Passo 5

Escolhendo domínio x≥0 no original, ficamos com o ramo positivo. Assim a inversa fica:
f^-1(y)=raiz9-y2
E trocando y por x para escrever a função inversa em termos de x:
f^-1(x)=raiz9-x2, x<=9

Resposta

f^-1(x)=pmraiztfrac9-x2,\quad domínio\ de\ f^{-1}:\ x\le9.)

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