Determine
.
a)
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Passo 1
O enunciado pede para achar a inversa da função f(x)=9–2x². O conteúdo aqui é inversão de funções, que envolve resolver y=f(x) para x e depois trocar x↔y. Precisamos também garantir que f seja injetora, já que uma função quadrática não é injetora em ℝ inteiro.
Passo 2
Começamos definindo y=f(x), ou seja:
Passo 3
Agora isolamos x: primeiro passamos 9 para o outro lado e dividimos por –2:
Passo 4
Tomando raiz quadrada em ambos os lados, obtemos:
Até aqui temos duas soluções, mas para ter inversa precisamos de ramo único. Observe que f não é injetora em ℝ, então restringimos o domínio. Por exemplo, se considerarmos f definida em [0,∞), então f é estritamente decrescente ali.
Passo 5
Escolhendo domínio x≥0 no original, ficamos com o ramo positivo. Assim a inversa fica:
E trocando y por x para escrever a função inversa em termos de x: