Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5.
A região limitada pela curva com equação vetorial r(t)=cos t i+sen^3 t j, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva paramétrica
r(t) = cos t,i + sin^3t,j, 0<= t<=2pi.
Estamos em cálculo de campos vetoriais ou geometria analítica, e vamos usar a fórmula paramétrica de área
A = oint x,dy
para curvas orientadas positivamente (no sentido anti-horário).

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes
x(t)=cos t, y(t)=sin^3t
e calculamos
dydt = 3sin^2tcos t

Passo 3

Pela fórmula A=integral x,dy sobre tin[0,2pi], temos
A = integral0^2pi x(t),dydt,dt =integral0^2pi cos tcdotl(3sin^2tcos tr),dt =3integral0^2pisin^2tcos^2t,dt

Passo 4

Usamos a identidade
sin^2tcos^2t = 14sin^2(2t) = 14cdot1-cos4t2 = 1-cos4t8,
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A = 3integral0^2pi1-cos4t8,dt = 38integral0^2pi(1-cos4t),dt

Passo 5

Calculamos cada parte:
integral0^2pi1,dt = 2pi, integral0^2picos4t,dt = sin4t4|0^2pi = 0
Portanto
A = 38l(2pi - 0r) = 3pi4

Resposta

A área da região é 3pi4.

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