Determine a área da região delimitada por:
y=f(x)=7-2 x^2 e y=g(x)=x^2+4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a área da região delimitada pelas funções y = f(x) = 7 - 2x^2 e y = g(x) = x^2 + 4 . Isso envolve o cálculo de área entre duas curvas, que é um tópico de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde as duas funções se encontram e, em seguida, integrar a diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas funções, ou seja, os valores de x onde f(x) = g(x) . Vamos igualar as duas equações:
7 - 2x^2 = x^2 + 4

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x :
7 - 2x^2 = x^2 + 4 7 - 4 = x^2 + 2x^2 3 = 3x^2 x^2 = 1 x = pm1
Então, as funções se intersectam em x = -1 e x = 1 .

Passo 4

Para calcular a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções nos pontos de interseção:
Área = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx Á
Aqui, a = -1 e b = 1 .

Passo 5

Vamos substituir f(x) e g(x) na fórmula:
Área = integral-1^1 [(7 - 2x^2) - (x^2 + 4)] , dx = integral-1^1 [7 - 2x^2 - x^2 - 4] , dx = integral-1^1 [3 - 3x^2] , dx Á

Passo 6

Agora, vamos integrar a função 3 - 3x^2 de -1 a 1 :
Área = integral-1^1 3 , dx - integral-1^1 3x^2 , dx = 3 [ x ]-1^1 - 3 [ x^33 ]-1^1 = 3 (1 - (-1)) - 3 ( 1^33 - (-1)^33 ) = 3 (2) - 3 ( 13 - (-13) ) = 6 - 3 ( 23 ) = 6 - 2 = 4 Á

Resposta

A área da região delimitada pelas funções y = 7 - 2x^2 e y = x^2 + 4 é igual a 4 unidades de área.

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