Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0(cosec(x)-1x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0l(csc(x)-1xr)
usando a regra de L’Hospital. Aqui o ponto chave é transformar essa diferen\c{c}a num quociente que se apresente na forma indeterminada tfrac00 e depois aplicar L’Hospital.

Passo 2

Reescrevemos
csc(x)-1x ;=;1sin(x)-1x ;=;x-sin(x)x,sin(x)
Quando xto0, o numerador x-sin(x)to0 e o denominador xsin(x)to0, fica tfrac00. Ent~ao podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital na forma tfracf(x)g(x), derivamos numerador e denominador:
f(x)=x-sin(x)Longrightarrow f'(x)=1-cos(x),
g(x)=x,sin(x)Longrightarrow g'(x)=sin(x)+xcos(x)
O limite vira
limxto01-cos(x)sin(x)+xcos(x),
ainda tfrac00, pois 1-cos(0)=0 e sin(0)+0cdotcos(0)=0.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital de novo: derivamos mais uma vez
ddxl(1-cos(x)r)=sin(x), ddxl(sin(x)+xcos(x)r) =cos(x)+cos(x)-xsin(x)=2cos(x)-xsin(x)
Ent~ao o limite passa a ser
limxto0sin(x)2cos(x)-xsin(x)
Agora ao substituir x=0 temos sin(0)=0 e 2cos(0)-0cdotsin(0)=2, logo o quociente 'e tfrac02=0.

Resposta

O valor do limite é 0.

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