Determine a área da região delimitada por:
y=f(x)=x^2 e y=g(x)=-x^2+4 x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=f(x)=x^2 e y=g(x)=-x^2+4x. O tema aqui é calcular área entre curvas usando integral definida da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das curvas resolvendo
x^2 = -x^2 + 4x,
o que dá
2x^2 - 4x = 0 Longrightarrow x(2x - 4) = 0 Longrightarrow x = 0 ou x = 2

Passo 3

Verificar qual função está acima no intervalo [0,2]. Por exemplo, em x=1 temos f(1)=1 e g(1)=3, logo g(x)>= f(x) em todo [0,2]. Assim, a área é
integral0^2 [g(x) - f(x)] , dx = integral0^2 [(-x^2+4x) - x^2] , dx

Passo 4

Calcular a integral:
integral0^2 (-2x^2 + 4x) , dx = [ -2x^33 + 2x^2 ]0^2 = l(-163 + 8r) = 83

Resposta

A área da região é 83.

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