Economistas estimam que os valores médios, em reais, das ações de duas empresas A e B sejam dados, respectivamente, por vA(t)=4,20+14 t e vB(t)=116 t^2-18 t+3,20, em que t é o tempo, em anos, contado a partir da data desta previsão.
Daqui a quantos anos as ações das duas empresas terão o mesmo valor? Qual será esse valor?

Passo 1

O enunciado dá as estimativas, em reais, das ações de duas empresas no tempo t anos a partir de agora:
vA(t)=4,20+14t,
vB(t)=116t^2-18t+3,20
Queremos saber para que t essas duas funções coincidem, isto é, resolver a equação vA(t)=vB(t). Isso envolve montar uma equação do 2º grau e encontrar suas raízes.

Passo 2

Igualamos as duas expressões e trazemos tudo para um lado:
4,20+14t ;=;116t^2-18t+3,20
116t^2-18t+3,20 ;-;4,20 ;-;14t ;=;0
Agora somamos os termos semejantes. Como -tfrac18t-tfrac14t=-tfrac38t e 3,20-4,20=-1,00, fica
116t^2-38t-1,00=0

Passo 3

Para simplificar, multiplicamos tudo por 16:
t^2-6t-16=0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-6)^2-4cdot1cdot(-16)=36+64=100
As raízes são
t=6pmraiz1002=6pm102,
portanto
t1=162=8, t2=-42=-2

Passo 4

Descartamos t2=-2 porque tempo não pode ser negativo. Logo, a única solução física é
t=8 anos

Passo 5

Calculamos o valor comum substituindo em qualquer das funções, por exemplo em vA:
vA(8)=4,20+14cdot8=4,20+2,00=6,20

Resposta

Daqui a 8 anos as ações valerão R$ 6,20.

Exercícios relacionados