Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
integral0^pi / 4 sec ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi/4 sec^2 x ,dx
usando o teorema da variação total (ou Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2). Vamos precisar encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=sec^2x e depois usar
integrala^bf(x),dx = F(b) - F(a)

Passo 2

Identificamos uma primitiva de f(x)=sec^2x. Sabemos da derivação de funções trigonométricas que
ddxl(tan xr)=sec^2x
Logo podemos tomar
F(x)=tan x

Passo 3

Aplicando o teorema da variação total com a=0 e b=pi/4:
integral0^pi/4sec^2x,dx = Fl(tfracpi4r) - F(0) = tan!l(tfracpi4r) - tan(0)

Passo 4

Basta agora avaliar as tangentes:
tan!l(tfracpi4r)=1 e tan(0)=0
Portanto
integral0^pi/4sec^2x,dx = 1 - 0 = 1

Resposta

1

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