Determine a área da regiảo que é delimitada pela curva fornecida e está localizada no setor especificado.
r=e^theta, 3 pi / 4 <= theta <= 3 pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares definida por
r = e^theta, 3pi4<= theta <= 3pi2
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, onde a fórmula básica é
A = 12 integraltheta1^theta2 l[r(theta)r]^2 ,dtheta

Passo 2

Substituindo r(theta)=e^theta na fórmula, temos
A = 12 integral3pi/4^3pi/2 l(e^thetar)^2 ,dtheta = 12 integral3pi/4^3pi/2 e^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar, notamos que
integral e^2theta,dtheta = 12,e^2theta
Logo, aplicando os limites,
A = 12 cdot [12e^2theta]3pi/4^3pi/2 = 14l(e^2cdot3pi2 - e^2cdot3pi4r) = 14l(e^3pi - e^3pi/2r)

Resposta

A = 14l(e^3pi - e^3pi/2r)

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