Determine a área da região delimitada pela curva parametrizada fornecida e pelo eixo y.
x=sen^2 t, y=cos t

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva parametrizada
x=sin^2t, y=cos t
e pelo eixo y. O conteúdo é cálculo de área usando integral de linha (Teorema de Green na forma de A=oint x,dy).

Passo 2

Primeiro identificamos onde a curva toca o eixo y. Como x=sin^2t=0 quando sin t=0, temos
t=0e t=pi,
com correspondentes pontos (x,y)=(0,1) e (0,-1). Esses dois pontos unidos pelo eixo y e pela curva fecham a região.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, a área dessa região é
A=ointC x,dy,
onde C é o contorno orientado positivamente (no sentido anti-horário), composto pela curva parametrizada de t=0 até t=pi e pelo segmento do eixo y. No eixo y temos x=0, então só contribui a parte da curva.

Passo 4

Na parte curva usamos a parametrização para escrever
A=integralt=0^pi x(t),dydt,dt =integral0^pi sin^2t;l(-sin tr),dt =-integral0^pisin^3t,dt

Passo 5

Para calcular integral0^pisin^3t,dt usamos a identidade
integral0^pisin^3t,dt = 43
Logo
A=-43,
mas o sinal negativo vem da orientação inversa ao sentido anti-horário que adotamos; tomando o valor positivo para a área,
A=43

Resposta

boxed43

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