Determine a área da região delimitada pela curva parametrizada fornecida e pelo eixo
.
,
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela curva parametrizada
e pelo eixo
. O conteúdo é cálculo de área usando integral de linha (Teorema de Green na forma de
).
Passo 2
Primeiro identificamos onde a curva toca o eixo
. Como
quando
, temos
com correspondentes pontos
e
. Esses dois pontos unidos pelo eixo
e pela curva fecham a região.
Passo 3
Pelo Teorema de Green, a área dessa região é
onde
é o contorno orientado positivamente (no sentido anti-horário), composto pela curva parametrizada de
até
e pelo segmento do eixo
. No eixo
temos
, então só contribui a parte da curva.
Passo 4
Na parte curva usamos a parametrização para escrever
Passo 5
Para calcular
usamos a identidade
Logo
mas o sinal negativo vem da orientação inversa ao sentido anti-horário que adotamos; tomando o valor positivo para a área,