Determine e classifique os pontos críticos da função nos casos
f(x, y)=e^x-y(x^2-2 y^2)

Passo 1

Estamos com a função
f(x,y)=e^x-yl(x^2-2y^2r),
e o objetivo é achar os pontos críticos (onde o gradiente some) e classificá-los (mínimo, máximo ou sela). Para isso, vamos precisar do gradiente nabla f=(fx,fy) e do Hessiano D^2f.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais usando que se f=e^x-y,g(x,y) então
fx=e^x-yl(g+gxr), fy=e^x-yl(-,g+gyr),
com g(x,y)=x^2-2y^2, gx=2x e gy=-4y. Logo
fx=e^x-yl(x^2-2y^2+2xr),
fy=e^x-yl(-x^2+2y^2-4yr)

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem
fx=0 Longrightarrow x^2-2y^2+2x=0,
fy=0 Longrightarrow -x^2+2y^2-4y=0
Da segunda equação vem
x^2=2y^2-4y
Substituindo na primeira:
(2y^2-4y)+2x-2y^2=0 Longrightarrow 2x-4y=0 Longrightarrow x=2y
Então
(2y)^2=2y^2-4y Longrightarrow 4y^2-2y^2+4y=0 Longrightarrow 2y(y+2)=0
de onde y=0 ou y=-2. Assim os pontos críticos são
(0,0)e(-4,-2)

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas. Mantendo o mesmo estilo, define-se
fx=e^x-yA, A=x^2-2y^2+2x,
fy=e^x-yB, B=-x^2+2y^2-4y
Dessa forma
fxx=e^x-yl(A+Axr) =e^x-yl(x^2-2y^2+2x+2x+2r) =e^x-yl(g+4x+2r),
fxy=e^x-yl(-A+Ayr) =e^x-yl(-(x^2-2y^2+2x)-4yr) =e^x-yl(-g-2x-4yr),
fyy=e^x-yl(-B+Byr) =e^x-yl(x^2-2y^2+4y-4r) =e^x-yl(g+8y-4r)

Passo 5

Avaliação em cada ponto:
(1) Em (0,0): g=0, e^x-y=1, então
fxx=2, fyy=-4, fxy=0,
det D^2f=fxxfyy-fxy^2=2cdot(-4)-0=-8<0,
logo ponto de sela.
(2) Em (-4,-2): g=8, e^x-y=e^-2, então
fxx=-6,e^-2, fyy=-12,e^-2, fxy=8,e^-2,
det D^2f=e^-4l((-6)cdot(-12)-8^2r) =8,e^-4>0,
e fxx<0, o que indica máximo local.

Resposta

(0,0) ponto de sela
(-4,-2) máximo local

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