Determine e classifique os pontos críticos da função nos casos
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo aqui é cálculo multivariável: primeiro a gente vai achar onde o gradiente de
é nulo (os pontos críticos) e depois usar a matriz Hessiana para decidir se ali temos mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Como
com
, vale a regra da cadeia:
Para ter ponto crítico, as duas derivadas devem ser zero simultaneamente. Como
para todo
, temos
Logo existe um único ponto crítico:
.
Passo 3
Agora vamos montar a matriz Hessiana de
. Novamente usando que
,
Para
temos
No ponto
fica
, então
Passo 4
Para classificar, calculamos o discriminante da Hessiana em
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um ponto de sela.