Determine e classifique os pontos críticos da função nos casos
f(x, y)=e^1+x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=e^1+x^2-y^2
O conteúdo aqui é cálculo multivariável: primeiro a gente vai achar onde o gradiente de f é nulo (os pontos críticos) e depois usar a matriz Hessiana para decidir se ali temos mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=e^g(x,y) com g(x,y)=1+x^2-y^2, vale a regra da cadeia:
partial fpartial x =e^g(x,y)cdotpartial gpartial x =e^1+x^2-y^2cdot 2x,
partial fpartial y =e^g(x,y)cdotpartial gpartial y =e^1+x^2-y^2cdot(-2y)
Para ter ponto crítico, as duas derivadas devem ser zero simultaneamente. Como e^1+x^2-y^2>0 para todo (x,y), temos
2x=0 e -2y=0 Longrightarrow x=0,;y=0
Logo existe um único ponto crítico: (0,0).

Passo 3

Agora vamos montar a matriz Hessiana de f. Novamente usando que f=e^g,
fxx =e^gl(gxx+gx^2r), fyy =e^gl(gyy+gy^2r), fxy =e^gl(gxy+gxgyr)
Para g(x,y)=1+x^2-y^2 temos
gx=2x, gy=-2y, gxx=2, gyy=-2, gxy=0
No ponto (0,0) fica gx=gy=0, então
fxx(0,0)=e^1cdot 2, fyy(0,0)=e^1cdot(-2), fxy(0,0)=0

Passo 4

Para classificar, calculamos o discriminante da Hessiana em (0,0):
D = fxx(0,0),fyy(0,0)-l(fxy(0,0)r)^2 =(2e)cdot(-2e)-0 =-4e^2<0
Como D<0, o ponto (0,0) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.

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