Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar.
r=1-cos theta

Passo 1

A questão pede a área da região delimitada por r = 1 - costheta. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos precisar usar a fórmula de área para curvas definidas por r(theta).

Passo 2

A fórmula para a área em coordenadas polares é:
A = 12 integralalpha^beta [r(theta)]^2 , dtheta
Aqui, como o traçado da curva em r = 1 - costheta se completa ao variar theta de 0 a 2pi, adotamos esses limites.

Passo 3

Substituindo r(theta) = 1 - costheta na fórmula, obtemos:
A = 12 integral0^2pi (1 - costheta)^2 , dtheta
Em seguida, expandimos o quadrado: (1 - costheta)^2 = 1 - 2costheta + cos^2theta.

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi,
integral0^2pi (-2costheta) , dtheta = -2 [sintheta]0^2pi = 0 e
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi (usando a identidade cos^2theta = tfrac1+cos(2theta)2).

Passo 5

Somando esses valores no integrando expandido temos 2pi + 0 + pi = 3pi. Multiplicando pelo fator tfrac12 da fórmula, chegamos a:
A = tfrac12 cdot 3pi = tfrac3pi2

Resposta

3pi2

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